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On considère un triangle quelconque $ABC$ avec $AB=10$ cm, $AC=8$cm et $BC=6$cm.
$I$ est un point de $[AB]$ et la parallèle à $(AC)$ passant par $I$ coupe $(BC)$ en $J$ (voir figure ci-dessous).
  1. Exprimer $IJ$ puis $BJ$ en fonction de $x$.

    Théorème de Thalès


    Soit un triangle $ABC$, et deux points $M$ et $N$ appartenant respectivement aux droites $(AB) $ et $(AC) $ avec $ (DE) $ parallèle à $(BC) $ (voir figure)
    Alors on a $\dfrac {AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.
    On a $(IJ)$ parallèle à $(AC)$ donc on peut utiliser le théorème de Thalès avec le quotient $\dfrac{BI}{BA}=$.....
    Dans le triangle $ABC$, on a $(IJ)// (AC)$ et $I\in (BA)$ et $J\in (BC)$
    donc en utilisant le théorème de Thalès, on a:
    $\dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BJ}{BC}=\dfrac{IJ}{AC}$
    On a $AB=10$ cm, $AC=8$cm et $BC=6$cm et $BI=x$
    donc $\dfrac{x}{10}=\dfrac{BJ}{6}=\dfrac{IJ}{8}$
    En ne gardant que le premier et le troisième quotient, on a donc:
    $\dfrac{x}{10}=\dfrac{IJ}{8} \Longleftrightarrow 8x=10IJ$ (produits en croix égaux)
    $\phantom{\dfrac{x}{10}=\dfrac{IJ}{8}} \Longleftrightarrow IJ=\dfrac{8x}{10}$
    $\phantom{\dfrac{x}{10}=\dfrac{IJ}{8}} \Longleftrightarrow IJ=\dfrac{4x}{5}$

    En ne gardant que le premier et le deuxième quotient, on a donc:
    $\dfrac{x}{10}=\dfrac{BJ}{6} \Longleftrightarrow 6x=10BJ$ (produits en croix égaux)
    $\phantom{\dfrac{x}{10}=\dfrac{BJ}{6}} \Longleftrightarrow BJ=\dfrac{6x}{10}$
  2. Est-il possible de placer $I$ sur le segment $[AB]$ pour que le périmètre du triangle $BIJ$ soit égal au périmètre du quadrilatère $AIJC$?
    Le périmètre du triangle $BIJ$ est $P_1=x+\dfrac{4x}{5}+\dfrac{3x}{5}=\dfrac{5x}{5}+\dfrac{4x}{5}+\dfrac{3x}{5}=\dfrac{12x}{5}$

    $I\in [AB]$ donc $AI=10-x$ et $J\in [BC]$ donc $JC=6-BJ=6-\dfrac{3x}{5}$
    Le périmètre du quadrilatère $AIJC$ est:
    $P_2=10-x+\dfrac{4x}{5}+6-\dfrac{3x}{5}+8=24-\dfrac{5x}{5}+\dfrac{4x}{5}-\dfrac{3x}{5}=24-\dfrac{6x}{5}$

    $P_1=P_2 \Longleftrightarrow \dfrac{12x}{5}=24-\dfrac{6x}{5}$
    $\phantom{P_1=P_2} \Longleftrightarrow 12x=120-6x$ (on multiplie les deux membres par 5)
    $\phantom{P_1=P_2} \Longleftrightarrow 18x=120$
    $\phantom{P_1=P_2} \Longleftrightarrow x=\dfrac{120}{18}$
    $\phantom{P_1=P_2} \Longleftrightarrow x=\dfrac{20}{3}$

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