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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos
  1. maths seconde
  2. chapitre 8 Équations de droites dans un repère
  3. exercice corrigé nº1601

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On a fait construire une piscine de 8 m de longueur dont le plan en coupe est donné ci-dessous.
Le fond n'est pas plat. On a un premier palier de profondeur 1,2 m sur une longueur de 1 m puis une descente à pente constante pour atteindre, 2 m avant le bord, un second palier de profon- deur 2,2 m.

On souhaite, pour des raisons de sécurité, indiquer par une marque, sur l'axe $(OA)$, l?endroit où la profondeur est de 1,5 m.
Où doit-on placer cette marque ?
  1. Donner les coordonnées des points $C$ et $D$ dans le repère $(O;I;J)$

    Aide

    Le point $O$ a pour coordonnées $(0;0)$, le point $I(1;0)$ et le point $J(0;1)$

    Solution

    Le point $O$ est l'origine du repère et le point $I$ définit l'unité sur l'axe des abscisses.
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CD)$.

    Rappel de cours

    Déterminer une équation cartésienne

    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)

    Solution

    $\begin{cases} x_D-x_C=6-1=5\\ y_D-y_C=-2,2-(-1,2)=-1\end{cases}$
    donc $\overrightarrow{CD}(5;-1)$ est un vecteur directeur de $(CD)$
    Méthode 1
    Soit $M(x;y)$ un point de $(CD)$, $\overrightarrow{CM}(x-1;y+1,2)$
    $\overrightarrow{CM}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires
    $det(\overrightarrow{CM};\overrightarrow{CD})=0$
    $\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}x-1&5\\ y+1,2&-1\end{bmatrix}=0$
    $\Longleftrightarrow -1(x-1)-5(y+1,2)=0$
    $\Longleftrightarrow -1x+1-5y-6=0$
    $\Longleftrightarrow -x-5y-5=0$

    Méthode 2
    $\overrightarrow{CD}(5;-1)$ est un vecteur directeur de $(CD)$ donc
    $\overrightarrow{CD}(-b;a)$ donc $a=-1$ et $b=-5$
    donc $(CD)$ admet une équation cartésienne de la forme $-x-5y+c=0$
    $C\in (CD) \Longleftrightarrow -1-5\times (-1,2)+c=0 \Longleftrightarrow 5+c=0 \Longleftrightarrow c=-5$
  3. En déduire la position de la marque sur l'axe $(OA)$.

    Aide

    On veut trouver l'abscisse du point de $(CD)$ tel que $y=-1,5$

    Solution

    La marque correspond à l'abscisse du point $F$ de $(CD)$ d'ordonnée $-1,5$(voir figure ci-dessous)

    $F\in (CD)$ et $y_F=-1,5$
    donc $-x_F-5y_F-5=0$
    $\Longleftrightarrow -x_F-5\times (-1,5)-5=0$
    $\Longleftrightarrow -x_F+7,5-5=0$
    $\Longleftrightarrow -x_F+2=0$
    $\Longleftrightarrow -x_F=-2$
    $\Longleftrightarrow x_F=2$
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Équations de droites dans un repère

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