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Le but de l'exercice est de démontrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.
On note $a$ et $b$ ces deux nombres avec $a\in \mathbb{Q}$ et $b\notin \mathbb{Q}$.
On suppose que $a+b$ est un nombre rationnel et on note alors $a+b=\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q\neq 0$ entiers .
  1. En posant $a=\dfrac{p'}{q'}$, montrer que $b=\dfrac{pq'-p'q}{qq'}$.
    $a+b=\dfrac{p}{q}$ donc $b=\dfrac{p}{q}-a$
    On a $a+b=\dfrac{p}{q}$ et $a=\dfrac{p'}{q'}$
    donc on a:
    $b=\dfrac{p}{q}-a$
    $=\dfrac{p}{q}-\dfrac{p'}{q'}$
    $=\dfrac{pq'}{qq'}-\dfrac{p'q}{q'q}$
    $=\dfrac{pq'-p'q}{qq'}$
  2. En déduire que $b$ est un rationnel et conclure.
    $pq'-p'q$ et $qq`$ sont des entiers
    $p$, $q$, $p'$ et $q'$ sont des entiers donc $pq'-p'q$ et $qq'$ sont deux entiers
    donc $b$ est un nombre rationnel
    ce qui est contraire à l'hypothèse $b\notin \mathbb{Q}$

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