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On dispose d'une feuille de carton carrée de côté 60cm et on coupe dans chaque angle des carrés de $x$ cm de côté.(voir figure).
On obtient ainsi une boîte ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur $x$ cm.


  1. Quelle est l'intervalle auquel doit appartenir $x$?
    $x$ est une longueur donc est positif.
    La boîte a une base carrée de largeur $60-2x$ et cette mesure doit être positive....
    $x$ est une longueur donc est positif.
    La boîte a une base carrée de largeur $60-2x$ (on enlève aux côtés de la feuille de carton $x$ cm de chaque côté).
    On doit avoir $60-2x\geq 0$ puisque $60-2x$ est la mesure des côtés de la base de la boîte donc doit être positive.
    $60-2x\geq 0 \Longleftrightarrow 60\geq 2x \Longleftrightarrow 30\geq x$
    donc on doit avoir $x$ compris entre 0 et 30 cm



    Si $x=0$, la boîte se réduit à une surface plane (la hauteur est nulle) et si $x=30$, il ne reste rien pour fabriquer la boîte.
  2. Exprimer le volume $V(x)$ en fonction de $x$.
    Rappel: le volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions $l$, $L$ et hauteur $h$ est $V=L\times l\times h$
    La boîte a pour base un carré de côté $60-2x$ et de hauteur $x$ donc on a:
    $V(x)=(60-2x)(60-2x)x=x(60-2x)^2$

  3. Avec la calculatrice, proposer une valeur de $x$ pour laquelle le volume de la boîte est maximum.
    Quelle est la valeur de ce volume en dm$^3$?
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant l'expression de $V(x)$ dans Y1 et en paramétrant(SET) les les valeurs de $x$ entre 0 et 30 avec par exemple pour pas 0,5.
    Avec le MENU TABLE, on peut saisir l'expression de $V(x)$ puis paramétrer XSTART=0, XEND=30 et STEP=0,5 par exemple.

    En parcourant le tableau de valeurs, il semble que le volume maximum soit atteint pour $x=10$.
    On a alors $V(10)=10\times (60-2\times 10)^2=10\times 40^2=16000$ cm$^3$ soit 16 dm$^3$.

  4. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $V$.

    Le résultat obtenu avec la calculatrice semble-t-il cohérent avec le graphique donné?
    Graphiquement, il semble bien que le maximum de la fonction $V$ soit atteint pour $x=10$ cm.
  5. Déterminer graphiquement, les valeurs de $x$ pour lesquelles le volume est supérieur ou égal à 12,5 dm$^3$.
    Il faut convertir 12,5 dm$^3$ en cm$^3$ et résoudre graphiquement l'inéquation correspondant à la contrainte de la question.
    12,5 dm$^3=12500$ cm$^3$
    On veut donc résoudre l'inéquation $V(x)\geq 12500$.
    Les solutions sont les abscisses des points de la courbe (en pointillés bleus sur le graphique) situés au-dessus de la droite d'équation $y=12500$ (en bleu sur le graphique)

    soit $x\in [5;16]$ (zone en vert sur l'axe des abscisses)


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