Dans chaque cas, calculer le produit scalaire des vecteurs $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$, l'unité étant définie par un carreau du quadrillage.
- .
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)On peut définir les points $A$, $B$ et $C$ tels que $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$
Construire le projeté orthogonal de $H$ sur $(AB)$Si on note $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{v}$
$H$ est le projeté orthogonal du point C sur $(AB)$ (voir figure)
$\widehat{BAC}$ est un angle aigu donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}>0$ et on a:
$ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=AB\times AH$
$\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=3 \times 2$
$\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=6$
- .
On peut définir les points $A$, $B$ et $C$ tels que $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{AC}$
Construire le projeté orthogonal de $H$ sur $(AB)$
$\widehat{BAC}$ est obtusSi on note $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{v}$
$C'$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur $(AB)$ (voir figure)
$\widehat{BAC}$ est un angle obtus donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}<0$ et on a:
$ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=-AB\times AH$
$\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-4 \times 2$
$\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-8$
- .
construire le point $B$ tel que $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{u}$Si on note $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{v}$
On construit le point $B$ tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}$
$H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur $(AC)$ (voir figure)
$\widehat{BAC}$ est un angle obtus donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}<0$ et on a:
$ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=-AC\times AH$
$\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-3,5 \times 2,5$
$\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}}=-8,75$
devoir nº 893
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Devoir produit scalaire
- utiliser les différentes expressions du produit scalaire
- calculs avec le produit scalaire
- problème ouvert
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