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  2. chapitre 4 Inégalités et inéquations
  3. exercice corrigé nº276
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Résoudre les inéquations suivantes:
  1. $(x+1)^2>7$

    Rappel de cours

    Identités remarquables

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

    Aide

    Il faut se ramener à l'étude du signe d'un produit de deux facteurs
    On peut utiliser la trosième identité remarquable pour factoriser ($\sqrt{7}^2=7$)

    Solution

    $(x+1)^2>7 \Longleftrightarrow (x+1)^2-7 > 0$
    $\phantom{(x+1)^2>7} \Longleftrightarrow (x+1)^2-\sqrt{7}^2 > 0$
    $\phantom{(x+1)^2>7} \Longleftrightarrow (x+1-\sqrt{7})(x+1+\sqrt{7}) > 0$
    $x+1-\sqrt{7}$ s'annule pour $x=-1+\sqrt{7}$
    et $x+1+\sqrt{7}$ s'annule pour $x=-1-\sqrt{7}$

    donc $(x+1)^2 > 7$ (zone bleue du tableau de signes) pour $x \in ]-\infty;-1-\sqrt{7}[\cup ]-1+\sqrt{7};+\infty[ $(zone verte)
  2. $(2x-4)(x+1)\leq 7x-14$

    Aide

    Il faut se ramener à l'étude du signe d'un produit de deux facteurs en factorisant par $x-2$

    Solution

    $(2x-4)(x+1)\leq 7x-14 \Longleftrightarrow (2x-4)(x+1)-(7x-14) \leq 0$
    $\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 7x-14} \Longleftrightarrow 2(x-2)(x+1)-7(x-2) \leq 0$
    $\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 7x-14} \Longleftrightarrow (x-2)\left[2( x+1)-7\right] \leq 0$
    $\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 6x-12} \Longleftrightarrow (x-2)\left[2x+2-7\right] \leq 0$
    $\phantom{(2x-4)(x+1)\leq 6x-12} \Longleftrightarrow (x-2)\left[2x-5\right] \leq 0$
    $x-2$ s'annule pour $x=2$
    et $2x-5$ s'annule pour $x=\dfrac{5}{2}$

    donc $(2x-4)(x+1)\leq 7x-14$ (zone bleue du tableau de signes) pour $x \in \left[2;\dfrac{5}{2}\right]$(zone verte)
  3. $\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}$

    Aide

    Il faut se ramener à l'étude du signe d'un quotient (inéquation $\dfrac{ax+b}{cx+d}\geq 0$) en réduisant au même dénominateur

    Solution

    Il faut $3-x \neq 0 $ soit $x\neq 3$
    Pour tout réel $x\neq 3$, on a:
    $\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}\Longleftrightarrow \dfrac{x-1}{3}-\dfrac{-1}{3-x}\geq 0$
    $\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(3-x)}{3(3-x)}-\dfrac{ -3}{3(3-x)}\geq 0$
    $\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(3-x)+ 3}{3(3-x)}\geq 0$
    $\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{3x-x^2-3+x+3}{3(3-x)}\geq 0$
    $\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{5}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{-x^2+4x}{3(3-x)}\geq 0$
    $\phantom{\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{5}{3-x}} \Longleftrightarrow \dfrac{x(-x+4)}{3-x}\geq 0$
    Le facteur $x$ s'annule pour $x=0$
    $-x+4$ s'annule pour $x=4$
    et $3-x$ s'annule pour $x=3$

    donc $\dfrac{x-1}{3} \geq \dfrac{-1}{3-x}$ (zone bleue) pour $x\in [0;3[\cup [4;+\infty[$

devoir nº 283


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Devoir complet fin de chapitre

- inéquations et tableaux de signes (produit quotient)
- inéquation et interprétation graphique (fonctions et signe)
- problème avec mise en inéquation menant au signe d'un produit

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