Calculer les intégrales suivantes:
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
  1. $\int_0^2 2x-1 dx$

    Primitives des fonctions usuelles


    Intégrale


    La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
    $\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$
    Il faut chercher une primitive de $2x-1$
    Si on pose $f(x)=2x-1$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
    $F(x)=x^2-x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    En effet $F'(x)=2x-1=f(x)$.
    $F(0)=0^2-0=0$
    et $F(2)=2^2-2=2$
    $\int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=2-0=2$
  2. $\int_0^2 2x^2-3 dx$

    Primitives des fonctions usuelles


    Il faut chercher une primitive de $x^2-3$
    Si on pose $f(x)=x^2-3$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[0;2]$.
    $F(x)=\dfrac{x^3}{3}-3x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    En effet $F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-3=x^3-3$.
    $F(0)=\dfrac{0^3}{3}-3\times 0=0$
    et $F(2)=\dfrac{2^3}{3}-3\times 2=\dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}=\dfrac{-10}{3}$
    $\int_0^2 f(x)dx=[F(x)]_0^2=F(2)-F(0)=\dfrac{-10}{3}-0=\dfrac{-10}{3}$

    Contrôle avec la calculatrice

    Avec une TI, la syntaxe est int(fonction, variable,borne inférieure, borne supérieure)
  3. $\int_1^e \dfrac{2}{x} dx$

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    Il faut chercher une primitive de $2\times \dfrac{1}{x}$
    Si on pose $f(x)=\dfrac{2}{x}$ on a $f$ continue sur $[1;e]$ donc $f$ admet des primitives sur $[1;e]$.
    $F(x)=2ln(x)$ est une primitive de $f$ sur $[1;e]$.
    En effet $F'(x)=2\times \dfrac{1}{x}=f(x)$
    $F(1)=2ln(1)=0$ (rappel $ln(1)=0$)
    et $F(e)=2ln(e)=2$ (rappel $ln(e)=1$)
    $\int_1^e f(x)dx=[F(x)]_1^e=F(e)-F(1)=2-0=2$

    penser à contrôler avec la calculatrice
  4. $\int_{-2}^0 e^x dx$
    Si on pose $f(x)=e^x$ on a $f$ continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives sur $[-2;0]$.
    $F(x)=e^x$ est une primitive de $f$ sur $[-2;0]$.
    En effet $F'(x)=e^x=f(x)$
    $F(-2)=e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}$
    et $F(0)=e^0=1$
    $\int_{-2}^0 f(x)dx=[F(x)]_{-2}^0=F(0)-F(-2)=1-\dfrac{1}{e^2}$

    penser à contrôler avec la calculatrice

devoir nº 1290


Vous pouvez retourner sur le devoir après avoir vu cet exercice

Calculs d'intégrales

- intégrales avec les fonctions usuelles
- intégration par parties

infos cours

| 30mn