MATHS-LYCEELa courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous représente dans un repère orthonormal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $[0;+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
On sait que :
- La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
- La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points O, A et B.
- Le point A a pour coordonnées (1;1) ; la droite (OA) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A.
- Le point B a pour coordonnées $\left(2~;~\dfrac{4}{\text{e}}\right)$. Au point B, la courbe ($\mathcal{C}$) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
- L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).
PARTIE A
- Donner $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$, puis $f'(1)$ et $f'(2)$ (justifier les résultats).
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$)
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$ de la courbe d'abscisse 1
et la droite (OA) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A
donc $f'(1)=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{1-0}{1-0}=1$
La tangente au point $B$ d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses et a donc pour coefficient directeur 0
- Montrer que, dans l'intervalle $[0;+\infty[$, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre $1$ ; l'autre solution est notée $\alpha$.
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Il faut utiliser les variations de $f$ et utiliser les intervalles sur lesquels $f$ est monotone (soit croissante, soit décroissante).$f$ est continue sur $[0;2]$ et 1 est compris entre $f(0)$ et $f(2)$
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)$prend au moins une fois la valeur $1$ sur $[0;2]$.
De plus $f$ est strictement croissante sur $[0;2]$
donc $f(x)=1$ admet une unique solution sur $[0;2]$
On a de plus $f(1)=1$ donc $f(x)=1$ admet pour unique solution $x=1$ sur $[0;2]$.
$f$ est continue et strictement croissante sur $[2;+\infty[$ et 1 est compris entre $f(2)$ et $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)=0$
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend au moins une fois la valeur $1$ sur $[2;+\infty[$
De plus $f$ est strictement décroissante sur $[2;+\infty[$
donc l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[2;+\infty[$.
-
On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = ln[f(x)]$.
- Déterminer l'ensemble de définition de $g$.
- Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
Équations et inéquations avec exponentielle
Pour se ramener à une égalité de la forme $e^A=e^B$ on utilise $e^{ln(a)}=a$ ($a > 0$).
Par exemple:
$e^{x+1}=3 \Longleftrightarrow e^{x+1}=e^{ln(3)}$
$~~~~~~~~ \Longleftrightarrow x+1=ln(3)$
$~~~~~~~~ \Longleftrightarrow x=ln(3)-1$$g'(x)$ est du signe de $f'(x)$...$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc $g=ln(f)$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$
$f(x) >0$ sur $]0;+\infty[$ donc $g'(x)$ est du signe de $f'(x)$.
La fonction $f$ est strictement croissante (donc $f'(x)>0$) sur l'intervalle [0 ; 2[ et strictement décroissante (donc $f'(x)<0$ sur l'intervalle $]2;+\infty[$
- Déterminer $g'(1)$ et $g(2)$.
PARTIE B
Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 \times \text{e}^{-x+1}$.
On rappelle que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x) = ln [f(x)]$.
-
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ on a $g(x) = -x + 1 + 2 ln x$.
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$$ln\left(e^x\right)=x$ et $ln\left(x^2 \times \text{e}^{-x+1}\right)=ln\left(x^2\right)+ln\left(e^{-x+1}\right)$$g(x)=ln\left(x^2 \times \text{e}^{-x+1}\right)$
$\phantom{g(x)}=ln\left(x^2\right)+ln\left(e^{-x+1}\right)$
$\phantom{g(x)}=2ln\left(x \right)-x+1$ car $ln\left(e^x\right)=x$ pour tout réel $x$
- La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$, on note $g'$ sa fonction dérivée.
Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$.
Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Il faut calculer $g'(x)$ et étudier son signe.$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables)
et $g'(x)=-1+2\times \dfrac{1}{x}=-1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{-x+2}{x}$
$x >0$ donc $g'(x)$ est du signe de $-x+2$.
$-x+2 >0 \Longleftrightarrow -x>-2 \Longleftrightarrow x <2$
donc $g'(x) >0$ sur $]0;2[$ et $g'(x)<0$ sur $]2;+\infty[$
devoir nº 1241
Vous pouvez retourner sur le devoir après avoir vu cet exercice
Étude de fonction et convexité
- nombre dérivé et lecture graphique
- limites avec ln et croissances comparées en +oo
- dérivée et variations
- dérivée seconde et convexité
infos cours
| 30mn