MATHS-LYCEEDans chaque cas, écrire l'expression avec une seule exponentielle.
$x$ est un réel quelconque.
- $exp(2x-1)exp(x+3)$
Relation fonctionnelle
Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$$exp(2x-1)exp(x+3)=e^{2x-1}e^{x+3}$$exp(2x-1)exp(x+3)=e^{2x-1}e^{x+3}=e^{2x-1+x+3}=e^{3x+2}$
- $\dfrac{e^x\times (e^x)^3}{e^{2x}}$
Propriétés algébriques
Pour tous réels $x$ et $y$ on a:
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
$\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$
Pour tout entier relatif $n$ on a $exp(x)^n=exp(nx)$ soit $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$Simplifier d'abord $(e^x)^3$ puis le numérateur$\dfrac{e^x\times (e^x)^3}{e^{2x}}$
$\phantom{\dfrac{e^x\times (e^x)^3}{e^{2x}}}=\dfrac{e^x\times e^{3x}}{e^{2x}}$
$\phantom{\dfrac{e^x\times (e^x)^3}{e^{2x}}}=\dfrac{e^{x+3x}}{e^{2x}}$
$\phantom{\dfrac{e^x\times (e^x)^3}{e^{2x}}}=\dfrac{e^{4x}}{e^{2x}}$
$\phantom{\dfrac{e^3\times (e^2)^3}{e^8}}=e^{4x-2x}$
$\phantom{\dfrac{e^x\times (e^x)^3}{e^{2x}}}=e^{2x}$
- $ \dfrac{1}{(e^{-x})^4}$
Propriétés algébriques
Pour tous réels $x$ et $y$ on a:
$e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
$\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$
Pour tout entier relatif $n$ on a $exp(x)^n=exp(nx)$ soit $\left(e^x\right)^n=e^{nx}$Simplifier d'abord $(e^{-x})^4$$\dfrac{1}{(e^{-x})^4}=\dfrac{1}{e^{-x\times 4}}=\dfrac{1}{e^{-4x}}=e^{4x}$
- $ e^{2x-1}\times \dfrac{e}{e^{3x}}$
Simplifier d'abord le quotient$
$e=e^1$On a $e=exp(1)=e^1$
$e^{2x-1}\times \dfrac{e}{e^{3x}}=e^{2x-1}\times \dfrac{e^1}{e^{3x}}$
$\phantom{e^{2x-1}\times \dfrac{e}{(e^{3x}}}=e^{2x-1}\times e^{1-3x}$
$\phantom{e^{2x-1}\times \dfrac{e}{(e^{3x}}}=e^{2x-1+1-3x}$
$\phantom{e^{2x-1}\times \dfrac{e}{(e^{3x}}}=e^{-x}$
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Cours nº 982
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Fonction exponentielle: définitions et propriétés
- définition de exponentielle
- propriétés algébriques
infos cours
| 15mn
série 0 : Calculs avec exponentielle
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