$u_{n}\neq 0$ pour tout entier naturel $n$ et $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{5}$

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{ \dfrac{2^{n+1}}{5}}{\dfrac{2^n}{5}}$
$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=\dfrac{2^{n+1}}{5}\times \dfrac{5}{2^n}$
$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}$
$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=2^{n+1-n}$ (rappel:$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ avec $a\neq 0$)
$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=2$
Le quotient de deux termes consécutifs est constant
donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 2
Remarques
On peut aussi écrire $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{5}=2\times \dfrac{2^n}{5}=2u_n$
On peut aussi remarquer que $u_n$ est donné sous la forme $u_n=u_0\times q^n$ avec $u_0=\dfrac{1}{5}$ et $q=2$.
On a alors $u_n=u_0q^n=\dfrac{1}{5}\times 2^n=\dfrac{2^n}{5}$

$u_0=4$, $u_1=2u_0+3=2\times 4+3=11$ et $u_2=2u_1+3=2\times 11+3=25$
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{11}{4}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{25}{11}$
donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$
donc le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant
donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.
Remarque
Si $(u_n)$ est géométrique, il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=qu_n$ or ici on a $u_{n+1}=2u_n+3$ (on ajoute 3)
donc $(u_n)$ n'est pas géométrique.
Si on a $\dfrac{u_1}{u_0}= \dfrac{u_2}{u_1}$, cela ne signifie pas que la suite est géométrique car il faut avoir $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ constant pour TOUT entier naturel $n$.

$u_{n}\neq 0$ pour tout entier naturel $n$ et $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{3^{n+2}}$
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{ \dfrac{2^{n+1}}{3^{n+2}}}{\dfrac{2^n}{3^{n+1}}}$

$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}= \dfrac{2^{n+1}}{3^{n+2}}\times \dfrac{3^{n+1}}{2^n}$

$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}= \dfrac{2^{n+1-n}}{3^{n+2-(n+1)}}$

$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}= \dfrac{2^{1}}{3^{1}}$

$\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}= \dfrac{2}{3}$
donc le quotient de deux termes consécutifs est constant
donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{2}{3}$.