MATHS-LYCEEPour chaque cas ci-dessous, $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et premier terme $u_0$
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- $u_0=2$ et $r=4$
calculer $u_0+u_1+u_2+........+u_{19}+u_{20}$Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
$S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$
Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$Il faut calculer le premier et le dernier terme de la somme soit $u_{20}$
Il y a $20-0+1$ soit 21 termes dans cette somme$(u_{n})$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=2$ et raison $r=4$
donc $u_n=u_0+nr=2+4n$
$u_{20}=2+4\times 20=82$
Il y a $20-0+1=21$ termes dans cette somme donc on a:
$u_0+u_1+u_2+........+u_{19}+u_{20}$
$=21\times \dfrac{u_0+u_{20}}{2}$
$=21\times \dfrac{2+82}{2}$
$=21\times 42$
$=882$
- $u_1=5$ et $r=-2$
calculer $u_1+u_2+u_3+........+u_{99}+u_{100}$Il faut calculer le premier et le dernier terme de la somme soit $u_{100}$
Il y a $100-1+1$ soit 100 termes (de 1 à 100) dans cette somme$(u_{n})$ est une suite arithmétique telle que $u_1=5$ et raison $r=-2$
donc $u_n=u_1+(n-1)r=5+(n-1)\times (-2)=5-2n+2=7-2n$
$u_{100}=7-2\times 100=-193$
Il y a $100-1+1=100$ termes (de 1 à 100) dans cette somme donc on a:
$u_1+u_2+u_3+........+u_{99}+u_{100}$
$=100\times \dfrac{u_1+u_{100}}{2}$
$=100\times \dfrac{5-193}{2}$
$=100 \times (-94)$
$=-9400$
- $u_{10}=5$ et $u_{20}=65$
calculer $u_{10}+u_{11}+........+u_{29}+u_{30}$Il faut calculer le premier et le drenier terme de la somme soit $u_{30}$ ($u_{10}$ est donné
Pour calculer $u_{30}$, il faut déterminer la raison de cette suite arithmétique.
Il y a $30-10+1$ soit 21 termes dans cette somme$(u_{n})$ est une suite arithmétique telle que $u_{10}=5$ et $u_{20}=65$
On a $u_{n}=u_k+(n-k)r$ pour tout entier $n$ et tout entier $k$, donc ici:
$u_{20}=u_{10}+(20-10)\times r$
$\Longleftrightarrow 65=5+10r$
$\Longleftrightarrow 60=10r$
$\Longleftrightarrow r=6$
$(u_{n})$ est une suite arithmétique telle que $u_{10}=5$ et $r=6$
donc $u_{30}=u_{10}+(30-10)\times 6=5+20\times 6=125$
Il y a $30-10+1=21$ termes dans cette somme donc on a:
$u_{10}+u_{11}+........+u_{29}+u_{30}$
$=21\times \dfrac{u_{10}+u_{30}}{2}$
$=21\times \dfrac{5+125}{2}$
$=21 \times 65$
$=1365$
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Cours nº 704
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Cours partie 4 suites géométriques
- définition et forme explicite
- exemples de base
somme des termes d'une suite géométrique
infos cours
| 15-20mn
série 8 : Suites arithmétiques
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