MATHS-LYCEELes suites $(u_{n})$ et $(w_{n})$ sont définies pour tout $n\in \mathbb{N}$ par les relations:
$u_{n}=2n^2-3$ et $w_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}$
- La suite $(u_n)$ est-elle définie par récurrence ou sous forme explicite?
Forme explicite
$(u_n)$ est définie sous forme explicite si $u_n=f(n)$ avec $f$ fonction définie pour $x\geq 0$.
$f$ est la fonction associée à la suite $(u_n)$.Relation de récurrence
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.$u_n=f(n)$ avec $f(x)=2x^2-3$ définie sur $[0;+\infty[$
- Exprimer $u_{n+1}$ puis $u_{n+2}$ en fonction de $n$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Remplacer $n$ par $n+1$ dans $u_{n}=2n^2-3$ puis $n$ par $n+2$Si on remplace $n$ par $n+1$ dans la relation $u_{n}=2n^2-3$, on a:
$u_{n+1}=2(n+1)^2-3=2(n^2+2n+1)-3=2n^2+4n+2-3=2n^2+4n-1$
Si on remplace $n$ par $n+2$ dans la relation $u_{n}=2n^2-3$, on a:
$u_{n+2}=2(n+2)^2-3=2(n^2+4n+4)-3=2n^2+8n+8-3=2n^2+8n+5$
- Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $n$
Il faut remplacer $u_{n+1}$ et $u_n$ par leurs expressions en fonction de $n$$w_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}$
et on a $u_{n+1}=2n^2+4n-1$ et $u_{n}=2n^2-3$
$w_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}=(2n^2+4n-1)-(2n^2-3)=2n^2+4n-1-2n^2+3=4n+2$
Attention aux parenthèses car il y a le signe $-$ devant $u_{n}$
Il faut écrire $(2n^2+4n-1)-(2n^2-3)$ et non pas $2n^2+4n-1-2n^2-3$
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Cours nº 666
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Suites parties 1 et 2
- définition
- relation de récurrence et forme explicites
- étude des variations d'une suite
infos cours
| 15-20mn
série 3 : Calculs des termes
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