MATHS-LYCEEUne entreprise possède une machine permettent de confectionner des paquets de farine de 1 kg et 2 kg.
Lorsque celle-ci est correctement réglée, deux paquets sur cinq doivent peser 1 kg et les trois autres 2 kg.
Le responsable de la chaîne de production effectue un contrôle sur 250 paquets et en trouve 95 pesant 1kg, les autres pesant alors 2kg.
- Avec le contrôle effectué, peut-il considérer que la machine fonctionne correctement?
Intervalle de fluctuation
On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
$f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)Prise de décision
On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%penser á vérifier que les conditions d'application pour effectuer les calculs sont satisfaites
Il faut déterminer l'intervalle de fluctuation.On ici $n\geq 25$ puisque $n=250$.
En considérant le nombre de paquets pesant 1kg, on a $p=\dfrac{2}{5}=0,4$
donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,4-\dfrac{1}{\sqrt{250}}\approx 0,33$ (on doit arrondir la borne inférieure par défaut)
$p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,4+\dfrac{1}{\sqrt{250}}\approx 0,47$ (on doit arrondir la borne supérieure par excès)
95 paquets pèsent 1kg parmi les 250 donc $f=\dfrac{95}{250}=0,38$
donc $f\in I_F$
- Il effectue un second contrôle et obtient l'intervalle de fluctuation $I_F=[0,38;0,42]$.
Quelle est la taille de l'échantillon contrôlé?Il faut écrire un équation d'inconnue $n$ en utilisant l'une des bornes de $I_F$.Si on note $n$ l'effectif de l'échantillon contrôlé, on a $p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42$
$0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42-0,4$
$\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,02$
$\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow \sqrt{n}=\dfrac{1}{0,02}$
$\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow \sqrt{n}=50$
$\phantom{0,4+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,42} \Longleftrightarrow n=50^2$
- A quel intervalle doit appartenir $q$ le nombre de paquets de 1kg parmi les 2500 contrôlés pour qu'il n'y ait pas de raison de remettre en cause le réglage de la machine?
On doit avoir $f\in I_F$ avec $f=\dfrac{q}{2500}$La fréquence du nombre de paquets de 1kg parmi les 2500 est $f=\dfrac{q}{2500}$.
On veut donc $f\in I_F$ soit $0,38\leq \dfrac{q}{2500}\leq 0,42$.
$0,38\leq \dfrac{q}{2500}\leq 0,42 \Longleftrightarrow 0,38\times 2500\leq q \leq 0,42\times 2500$
$\phantom{0,38\leq \dfrac{q}{2500}\leq 0,42} \Longleftrightarrow 950\leq q \leq 1050$
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Cours nº 536
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Intervalle de fluctuation- estimation
- intervalle de fluctuation
- prise de décision
- intervalle de confiance (estimation)
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série 8 : Échantillonnage
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