ex nº526 - Probabilités avec un arbre

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Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Deux roues sont disposées sur le stand d'un forain. Elles sont toutes deux partagées en 10 secteurs identiques.
La première comporte 5 secteurs rouges, 3 bleus et 2 verts.
La deuxième comporte 7 secteurs noirs et 3 jaunes.
Quand on fait tourner une de ces deux roues, un repère indique, lorsqu'elle s'arrête, un secteur. Pour chacune des deux roues, on admet que les 10 secteurs sont équiprobables.
Le forain propose le jeu suivant : on fait tourner la première roue et, lorsqu'elle s'arrête, on considère la couleur du secteur indiqué par le repère.
- Si c'est le rouge, le joueur a perdu et la partie s'arrête.
- Si c'est le bleu, la partie continue; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur jaune, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur noir, le joueur a perdu.
- Si c'est le vert, la partie continue ; le joueur fait tourner la deuxième roue : si le repère indique un secteur noir, le joueur a gagné un lot et s'il indique un secteur jaune, le joueur a perdu.
Partie A
Le joueur fait une partie.
On note les évènements suivants :
$R$ : " Le repère de la première roue indique la couleur rouge " ; $B$ : " Le repère de la première roue indique la couleur bleue " ; $V$ : " Le repère de la première roue indique la couleur verte " ; $N$ : " Le repère de la deuxième roue indique la couleur noire " ; $J$ : " Le repère de la deuxième roue indique la couleur jaune " ; $G$ : " Le joueur gagne un lot ".

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   Aide

   Les deux roues sont indépendantes l'une de l'autre.
   On peut construire un arbre à deux niveaux correspondant à la première partie (trois issues possibles) puis à la seconde partie.

   Solution

   Calcul des probabilités pour la première roue
   $p(R)=\dfrac{5}{10}=0,5$
   $p(B)=\dfrac{3}{10}=0,3$
   $p(V)=\dfrac{2}{10}=0,2$
   
   Calcul des probabilités pour la deuxième roue
   $p(N)=\dfrac{7}{10}=0,7$
   $p(J)=\dfrac{3}{10}=0,3$
   
   On a donc:
   
2. Calculer la probabilité $p(B \cap J)$ et donner sa signification.

   Rappel de cours

   Intersection (A et B) et réunion (A ou B)

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   Soient A et B deux événements.
   L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
   Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
   
   L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
   
   $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

   Aide

   On veut le parcours $B$ et $J$ sur l'arbre.

   Solution

   $B \cap J$ est l'événement "le joueur obtient un secteur bleu et un jaune".
   Il y a un parcours sur l'arbre correspondant à cette situation.
   
   $p(B\cap J)=0,3\times 0,3=0,09$
   La probabilité d'obtenir un secteur bleu et un jaune est $p(B\cap J)=0,09$.
3. Démontrer que la probabilité $P(G)$ que le joueur gagne un lot est égale à $0,23$.

   Aide

   Il faut identifier les parcours sur l'arbre permettant de gagner un lot.

   Solution

   Il y a deux parcours sur l'arbre permettant de gagner un lot: $B$ puis $J$ et $V$ puis $N$.
   
   $p(V\cap N)=0,2\times 0,7=0,14$
   $p(G)=p(B\cap J)+p(V\cap N)=0,09+0,14=0,23$
   La probabilité que le joueur gagne un lot est $p(G)=0,23$.

Partie B
Un joueur fait quatre parties successives et indépendantes. On rappelle que la probabilité de gagner un lot est égale à $0,23$.

1. Construire un arbre illustrant cette situation.

   Aide

   On peut faire un arbre à 4 niveaux avec à chaque niveau les issues $G$ et $\overline{G}$

   Solution

   On répète quatre fois le jeu et à chaque partie on a $G$: "le joueur a gagné" et $\overline{G}$ avec $p(G)=0,23$ et $p(\overline{G}=1-0,23=0,77$
   Chaque partie est indépendante des autres.
   
2. Déterminer la probabilité, arrondie aux centièmes, que ce joueur gagne un seul lot sur ces quatre parties.

   Aide

   Il faut déterminer le nombre de parcours contenant exactement une fois $G$

   Solution

   $p_1=p(G\overline{G}\overline{G}\overline{G})=0,23\times 0,77^3$
   Il y a 4 parcours contenant une fois $G$ et pour chaque parcours la probabilité est $p_1$
   La probabilité de gagner un seule partie sur les quatre jouées est $4\times 0,23\times 0,77^3\approx 0,42$.