ex nº513 - Compléter et utiliser un tableau à double entrée

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Un appareil de très haute technologie est installé dans un laboratoire d'analyse médicale. L'installateur assure une maintenance à l'issue de chaque semaine d'utilisation.
Pour cette maintenance, soit il doit se déplacer (intervention directe sur l'appareil), soit une assistance téléphonique suffit.
A l'issue d'une semaine de fonctionnement, trois situations sont possibles :
- Situation A : l'appareil a fonctionné normalement ;
- Situation B : l'appareil a eu des arrêts épisodiques ;
- Situation C : l'appareil a eu des arrêts très fréquents.

Dans la situation A, l'installateur doit se déplacer 1 fois sur 2.
Dans la situation B, l'installateur doit se déplacer 7 fois sur 10.
L'installateur sait par expérience que, à l'issue de chaque semaine de fonctionnement,
- la probabilité d'être dans la situation A est $0,6$ ; - la probabilité d'être dans la situation B est $0,3$ ; - la probabilité qu'il doive se déplacer est $0,6$.
L'appareil a été utilisé pendant une semaine et considère les événements suivants :
A : " On se trouve dans la situation A "
B : " On se trouve dans la situation B "
C : " On se trouve dans la situation C "
S : " L'installateur se déplace "
T : " L'installateur effectue une assistance téléphonique ".

1. Dresser un tableau à double entrée illustrant les six cas possibles et les probabilités correspondantes.

   Aide

   On pourra placer en ligne les événements $A$, $B$ et $C$ et en colonne les événements $S$ et $T$

   Solution

   D'après l'énoncé, on a $p(A)=0,6$, $p(B)=0,3$ et $p(S)=0,6$
   
2. Que signifie l'événement $A \cap S$?
   Calculer sa probabilité en utilisant le tableau de la question 1.

   Rappel de cours

   Intersection (A et B) et réunion (A ou B)

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   Soient A et B deux événements.
   L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
   Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
   
   L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
   
   $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

   Solution

   $A \cap S$ est l'événement "on se trouve dans la situation $A$ et l'installateur se déplace".
   $p(A\cap S)=0,3$
   $p(A\cap S)=0,3$
3. Que signifie l'événement $A \cup S$?
   Calculer sa probabilité en utilisant le tableau de la question 1.

   Rappel de cours

   Intersection (A et B) et réunion (A ou B)

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   Soient A et B deux événements.
   L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
   Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
   
   L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
   
   $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

   Solution

   $A \cup S$ est l'événement "on se trouve dans la situation $A$ ou bien l'installateur se déplace".
   Première méthode:
   
   $p(A\cup S)=p(A)+p(S)-p(A\cap S)=0,6+0,6-0,3=0,9$
   
   Deuxième méthode (en ajoutant tous les cas possibles-voir tableau)
   
   $p(A\cup S)=p(A\cap S)+p(A\cap \overline{S})+p(B\cap S)+p(C\cap S)=0,3+0,3+0,21+0,09=0,9$
   $p(A\cup S)=0,9$
4. On sait que l'installateur s'est déplacé.
   Déterminer la probabilité que l'on ait été dans la situation B.

   Aide

   on ne prend en compte que la ligne correspondant à l'événement $S$ dans le tableau

   Solution

   On ne prend donc en compte que le cas où $S$ est réalisé:
   
   Si on note $p$ cette probabilité, on a $p=\dfrac{0,21}{0,6}=\dfrac{21}{60}=\dfrac{7}{20}=0,35$
   La probabilité d'être dans la situation $B$ sachant que l'installateur s'est déplacé est 0,35
   Remarque
   Cette probabilité est appelée probabilité conditionnelle car on sait déjà que l'installateur s'est déplacé.
   On note $p_{S}(B)=0,35$ se lit probabilité de $B$ sachant que $S$ est réalisé (programme de terminale).