ex nº512 - Compléter et utiliser un tableau à double entrée

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Une entreprise fabrique des pièces en utilisant deux machines A et B
La machine A produit 60% des pièces et 6% des pièces provenant de la machine A sont défectueuses 11% des pièces provenant de la machine B sont défectueuses.
L'usine produit 1000 pièces par jour et on tire au hasard une pièce dans la production de la journée.(on suppose que tous les tirages sont équiprobables)
On note les événements:
$A$: "La pièce provient de la machine A"
$D$ : "la pièce est défectueuse"

1. Quel est l'événement $\overline A$? Donner sa probabilité.

   Rappel de cours

   Notations des événements et probabilités

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   $\Omega$ est l'événement certain et $p(\Omega)=1$
   $\oslash$ est l'événement impossible et $p(\oslash)=0$
   $\overline{A}$ est l'événement contraire de A et est composé de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas contenue dans A et $p(\overline{A})=1-p(A)$

   Solution

   $\overline A$ est le contraire de l'événement $A$
   donc $\overline A$ est l'événement "la pièce ne provient pas de $A$" soit encore "la pièce provient de $B$".
   La machine A produit 60% des pièces donc la machine B en produit 40.
   donc $p(\overline{A})=\dfrac{40}{100}=0,4$
2. Compléter le tableau ci-dessous pour 1000 pièces produites:
   

   Aide

   6% des pièces provenant de $A$ on un défaut et 60% des pièces provienent de $A$.

   Solution

   Il faut donc prendre 6% des 600 pièces produites par A et 11% de 400 pi`ces produites par B
   
3. Quelle est la probabilité que la pièce soit défectueuse?

   Solution

   Il y a au total 80 pièces défectueuses parmi les 1000 pièces
   donc $p(D)=\dfrac{80}{1000}=0,08$
4. Comment peut-on noter l'événement "la pièce provient de la machine A et est défectueuse"?
   Quelle est la probabilité que la pièce provienne de A et soit défectueuse?

   Rappel de cours

   Intersection (A et B) et réunion (A ou B)

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   Soient A et B deux événements.
   L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
   Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
   
   L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
   
   $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

   Aide

   on veut déterminer le nombre de pièces parmi les 1000 correspondant à ces deux critères.

   Solution

   L'événement "la pièce provient de la machine A et est défectueuse" se note $A\cap D$.
   Il y a 36 pièces défectueuses et provenant de $A$.
   donc $p(A\cap D)=\dfrac{36}{1000}=0,036$
   La probabilité que la pièce provienne de A et soit défectueuse est $p(A\cap D)=0,036$.
5. Quelle est la probabilité que la pièce provienne de la machine A sachant qu'elle est défectueuse?

   Aide

   On choisit une pièce au hasard parmi les 80 pièces ayant un défaut et on veut savoir si elle vient de la machine A.

   Solution

   Il y a 36 pièces venant de la machine $A$ parmi les 80 pièces ayant un défaut.
   La probabilité cherchée est donc $\dfrac{36}{80}=0,45$
   La probabilité que la pièce provienne de la machine A sachant qu'elle est défectueuse est 0,45.
   Remarque
   La probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle (on sait que l'événement $D$ est réalisé) et se note $p_D(A)$. (programme de terminale)