MATHS-LYCEEDans le plan muni d'un repère orthogonal, on donne la droite $(d)$ d'équation $3x-2y+5=0$, $(d')$ d'équation $-4x-3y+9=0$ et $(d'')$ d'équation $-6x+4y+8=0$.
- Les droites $(d)$ et $(d')$ sont-elles parallèles ou sécantes?
Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d)$ et de $(d')$
Déterminer ensuite si ces vecteurs sont colinéaires ou nonPour $(d)$ on a $a=3$ et $b=-2$ donc $\overrightarrow{u}(2;3)$ est un vecteur directeur de $(d)$
Pour $(d')$ on a $a'=-4$ et $b'=-3$ donc $\overrightarrow{u}'(3;4)$ est un vecteur directeur de $(d')$
$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{u}')=\begin{pmatrix} 2&3\\ 3&4 \end{pmatrix}=2\times 4-3\times 3=-1\neq 0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}'$ ne sont pas colinéaires
donc $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles
- Les droites $(d)$ et $(d'')$ sont-elles parallèles ou sécantes?
Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d)$ et de $(d'')$
Déterminer ensuite si ces vecteurs sont colinéaires ou nonRappel: $\overrightarrow{u}(2;3)$ est un vecteur directeur de $(d)$
Pour $(d'')$ on a $a''=-6$ et $b''=4$ donc $\overrightarrow{u}''(-4;-6)$ est un vecteur directeur de $(d'')$
$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{u}'')=\begin{pmatrix} 2&-4\\ 3&-6 \end{pmatrix}=2\times (-6)-(-4)\times 3=-12+12=0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}''$ sont colinéaires
- Contrôler les résultats en traçant les droites (avec GEOGEBRA par exemple)
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Cours nº 438
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Équation cartésienne-vecteur directeur d'une droite
- vecteur directeur d'une droite
- équation cartésienne de droite
- déterminer une équation cartésienne
- équation cartésienne d'une parallèle
infos cours
| 20-30mn
série 6 : Droites parallèles
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