Soit $M(x;y)$ un point de la droite (d).
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-2 \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)$
$M\in$(d)
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow -1(y-2)-3(x-1)=0$
$\Longleftrightarrow -y+2-3x+3=0$
$\Longleftrightarrow -3x-y+5=0$
$-3x-y+5=0$ est une équation cartésienne de la droite (d)
On peut utiliser GEOGEBRA pour afficher une équation dans la fenêtre algèbre. Il suffit de placer le point A, le vecteur $\overrightarrow{u}$ puis tracer la droite et lire une équation de celle-ci affichée dans la fenêtre algèbre.

Remarque
Il existe une infinité d'équations cartésiennes pour une même droite.
Par exemple $-3x-y+5=0\Longleftrightarrow 3x+y-5=0\Longleftrightarrow 6x+2y-10=0$ sont deux autres équations cartésiennes possibles de (d).

Autre méthode possible:
$\overrightarrow{u}(-1;3)$ est un vecteur directeur de (d)
et si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de (d), le vecteur $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de (d)
donc ici $-b=-1$ soit $b=1$ et $a=3$ donc une équation cartésienne de (d) est de la forme $3x+y+c=0$
On peut utiliser les les coordonnées du point A pour calculer $c$:
$A\in (AB)\Longleftrightarrow 3x_A+y_A+c=0\Longleftrightarrow 3+2+c=0\Longleftrightarrow c=-5$
On retrouve $3x+y-5=0$ pour une équation cartésienne de (d)

Soit $M(x;y)$ un point de la droite (d).
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y \\ \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-2;y)$
$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow \sqrt{2}y-(1-\sqrt{2})(x-2)=0$
$\Longleftrightarrow \sqrt{2}y-(1-\sqrt{2})x+2-2\sqrt{2}=0$
$\Longleftrightarrow -(1-\sqrt{2})x+\sqrt{2}y+2-2\sqrt{2}=0$
$\Longleftrightarrow (-1+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y+2-2\sqrt{2}=0$
$(-1+\sqrt{2})x+\sqrt{2}y+2-2\sqrt{2}=0$ est une équation cartésienne de la droite (d)

Soit $M(x;y)$ un point de la droite (d).
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-3 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-(-1)=y+1 \end{cases}$
$\overrightarrow{AM}(x-3;y+1)$
$M\in (AB)$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{u}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
$\Longleftrightarrow -3(y+1)-0\times (x-3)=0$
$\Longleftrightarrow -3(y+1)=0$

$\Longleftrightarrow y+1=0$
$y+1=0$ est une équation cartésienne de la droite (d)
Remarque
$\overrightarrow{u}(-3;0)$ donc $y_{\overrightarrow{u}}=0$
donc (d) est parallèle à l'axe des abscisses
et (d) admet une équation de la forme $y=$constante
soit $y=y_A=-1$
et $y=-1 \Longleftrightarrow y+1=0$
Donc $y+1=0$ est une équation cartésienne de (AB)