MATHS-LYCEE$ABCD$ est un parallélogramme et les points $E$ et $F$ sont définies par les relations
$\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$
Le point $G$ est le milieu de $[EF]$.
- Construire la figure en plaçant tous les points de l'énoncé
$\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ donc pour construire le point E, il faut partager les segment [BC] en trois segments de même longueur
$\overrightarrow{CF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$ donc pour construire le point F, il faut partager le segment [CD] en trois segments de même longueur - Montrer que les points $A$, $C$ et $G$ sont alignés.
Il faut exprimer le vecteur $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$Données $ABCD$ est un parallélogramme donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$
$G$ milieu de $[EF]$ donc on a $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{GF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EF}$
$\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}+ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}+ \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{1}{2}( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{1}{2}( \dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC})$
$\phantom{\overrightarrow{AG}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
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Cours nº 398
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Vecteurs et coordonnées
- coordonnées du milieu
- distances et norme d'un vecteur
- coordonnées de la somme et du produit par un réel
- déterminant de deux vecteurs et vecteurs colinéaires
- alignement de trois points dans un repère
infos cours
| 15-20mn
série 8 : Vecteurs colinéaires et déterminant de deux vecteurs
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