MATHS-LYCEEDans le plan muni d'un repère orthonormé, dans chaque cas déterminer $x$ pour que les points A, B et C soient alignés
- $A(1;2)$, $B(3;6)$ et $C(-2;x)$
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
Utiliser le critère de colinéarité pour obtenir une équation d'inconnue $x$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-1=2 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=6-2=4 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}(2;4)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-2-1=-3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=x-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AC}(-3;x-2)$
A, B et C sont alignés
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}=0$
$\Longleftrightarrow 2(x-2)-4\times (-3)=0$
$\Longleftrightarrow 2x-4+12=0$
$\Longleftrightarrow 2x=-8$
$\Longleftrightarrow x=-4$
Penser à placer les points dans un repère pour contrôler le résultat obtenu par le calcul.
Avec $x=-4$, on a $C(-2;-4)$
- $A(x;-2)$, $B(0;2)$ et $C(2;4)$
Utiliser le critère de colinéarité pour obtenir une équation d'inconnue $x$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-x\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=2-(-2)=4 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}(-x;4)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=2\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=4-2=2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BC}(2;2)$
A, B et C sont alignés
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires
$\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{BC}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{BC}}=0$
$\Longleftrightarrow -x\times 2-4\times 2=0$
$\Longleftrightarrow -2x-8=0$
$\Longleftrightarrow x=-4$
On a alors $A(-4;-2)$.
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Cours nº 398
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Vecteurs et coordonnées
- coordonnées du milieu
- distances et norme d'un vecteur
- coordonnées de la somme et du produit par un réel
- déterminant de deux vecteurs et vecteurs colinéaires
- alignement de trois points dans un repère
infos cours
| 15-20mn
série 8 : Vecteurs colinéaires et déterminant de deux vecteurs
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