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  2. chapitre 3 Calculs et équations
  3. exercice corrigé nº198
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Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes:
penser à contrôler avec la calculatrice la ou les solutions obtenues.
  1. $(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)$
    cours

    Produit de facteurs nul

    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
    $a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
aide Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche
On peut écrire que $-(x-2)=2-x$

Solution

$(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x) \Longleftrightarrow (x-2)(6-2x)-(x-1)(2-x)=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow (x-2)(6-2x)-(x-1)\times (-1)(-2+x)=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow (x-2)\left[(6-2x)-(x-1)(-1)\right]=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow (x-2)(6-2x+x-1)=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow (x-2)(-x+5)=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $-x+5=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow x=2$ ou $-x=-5$
$\phantom{(x-2)(6-2x)=(x-1)(2-x)} \Longleftrightarrow x=2$ ou $x=5$
  • $(3x-1)(2x+3)=2x+3$
    aide Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche

    Solution

    $(3x-1)(2x+3)=2x+3 \Longleftrightarrow (3x-1)(2x+3)-(2x+3)=0$
    $\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow (2x+3)\left[(3x-1)-1\right]=0$
    $\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow (2x+3)(3x-1-1)=0$
    $\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow (2x+3)(3x-2)=0$
    $\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow 2x+3=0$ ou $3x-2=0$
    $\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow 2x=-3$ ou $3x=2$
    $\phantom{(3x-1)(2x+3)=2x+3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{-3}{2}$ ou $x=\dfrac{2}{3}$

    il ne faut surtout pas écrire que $(3x-1)(2x+3)=2x+3 \Longleftrightarrow 3x-1=1$ en divisant les deux membres par $2x+3$, ce qui donnerait comme unique solution $x=\dfrac{2}{3}$
    En effet pour "simplifier par $2x+3$, il faut être certain que $2x+3\neq 0$ (on ne peut diviser par 0)
    or ici, on ne peut affirmer que $2x+3\neq 0$ puisqu'on ne connaît pas la valeur de $x$.
  • $(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x$
    aide On peut écrire $-3x+3=-3(x-1)$

    Solution

    $(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x \Longleftrightarrow (x-1)(6-2x)+2(x-1)-3x+3=0$
    $\phantom{(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x} \Longleftrightarrow (x-1)(6-2x)+2(x-1)-3(x-1)=0$
    $\phantom{(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x} \Longleftrightarrow (x-1)\left[(6-2x)+2-3\right]=0$
    $\phantom{(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x} \Longleftrightarrow (x-1)(6-2x+2-3)=0$
    $\phantom{(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x} \Longleftrightarrow (x-1)(-2x+5)=0$
    $\phantom{(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x} \Longleftrightarrow x-1=0$ ou $-2x+5=0$
    $\phantom{(x-1)(6-2x)+2(x-1)+3=3x} \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=\dfrac{-5}{-2}$
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    Cours nº 193


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    Équations produit et équations avec un quotient

    - équations se ramenant à un produit de facteurs nul
    - équations avec un quotient et produits en croix égaux

    infos cours

    | 15-20mn
    série 8 : Équations avec un produit de facteurs

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