MATHS-LYCEERésoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes:
penser à contrôler avec la calculatrice la ou les solutions obtenues.
- $(x-2)(6-2x)-(x-2)(5x-8)=0$
Produit de facteurs nul
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
$a \times b=0 \Longleftrightarrow a=0$ ou $b=0$
Il faut factoriser pour avoir un produit de facteurs nul.$(x-2)(6-2x)-(x-2)(5x-8)=0 \Longleftrightarrow (x-2)\left[(6-2x)-(5x-8)\right]=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)-(x-2)(5x+8)=0} \Longleftrightarrow (x-2)(6-2x-5x+8)=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)-(x-2)(5x+8)=0} \Longleftrightarrow (x-2)(-7x+14)=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)-(x-2)(5x+8)=0} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $-7x+14=0$
$\phantom{(x-2)(6-2x)-(x-2)(5x+8)=0} \Longleftrightarrow x=2$ (en effet $-7x+14=0\Longleftrightarrow -7x=-14 \Longleftrightarrow x=2$)
On pouvait aussi poursuivre la factorisation de la façon suivante:
$(x-2)(-7x+14)=0\Longleftrightarrow (x-2)\times (-7)(x-2)=0$
$ \Longleftrightarrow -7(x-2)^2=0$ - $(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0$
Il faut factoriser pour avoir un produit de facteurs nul.
On peut écrire $4x-6=2(2x-3)$$(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0 \Longleftrightarrow (2x-3)(x-1)+(3x+3)\times 2(2x-3)=0$
$\phantom{(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0} \Longleftrightarrow (2x-3)\left[(x-1)+(3x+3)\times 2\right]=0$
$\phantom{(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0} \Longleftrightarrow (2x-3)(x-1+6x+6)=0$
$\phantom{(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0} \Longleftrightarrow (2x-3)(7x+5)=0$
$\phantom{(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0} \Longleftrightarrow 2x-3=0$ ou $7x+5=0$
$\phantom{(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0} \Longleftrightarrow 2x=3$ ou $7x=-5$
$\phantom{(2x-3)(x-1)+(3x+3)(4x-6)=0} \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ ou $x=\dfrac{-5}{7}$
- $(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0$
On peut écrire $3x+6=3(x+2)$ et $4x+8=4(x+2)$$(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0 \Longleftrightarrow (2x-1)3(x+2)-(4x+2)4(x+2)=0$
$\phantom{(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0} \Longleftrightarrow (x+2)\left[(2x-1)3-(x+2)\times 4\right]=0$
$\phantom{(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0} \Longleftrightarrow (x+2)(6x-3-4x-8)=0$
$\phantom{(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0} \Longleftrightarrow (x+2)(2x-11)=0$
$\phantom{(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0} \Longleftrightarrow x+2=0$ ou $2x-11=0$
$\phantom{(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0} \Longleftrightarrow x=-2$ ou $2x=11$
$\phantom{(2x-1)(3x+6)-(4x+2)(4x+8)=0} \Longleftrightarrow x=-2$ ou $x=\dfrac{11}{2}$
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Cours nº 193
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Équations produit et équations avec un quotient
- équations se ramenant à un produit de facteurs nul
- équations avec un quotient et produits en croix égaux
infos cours
| 15-20mn
série 8 : Équations avec un produit de facteurs
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Factoriser une expression
- factoriser avec un facteur commun en évidence
- faire apparaître le facteur commun
- factoriser avec les identités remarquables
- erreurs fréquentes à éviter
infos: | 15-20mn |
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