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  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1411
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On donne $z=2+3i$ et $z'=-2+4i$.
Calculer les expressions suivantes en donnant la forme algébrique du résultat.
penser à contrôler avec la calculatrice
  1. $zz'$

    Aide

    Il faut développer et réduire comme avce des réels et sachant que $i^2=-1$

    Solution

    $zz'= (2+3i)(-2+4i)$.
    $\phantom{zz'}=-4+8i-6i+12i^2$
    $\phantom{zz'}=-4+2i-12$
    $\phantom{zz'}=-16+2i$
  2. $z^2~\overline{z'}$

    Rappel de cours

    conjugué d'un complexe

    Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
    Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$

    Solution

    $z^2~\overline{z'}= (2+3i)^2\times (\overline{-2+4i})$
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= (4+2\times 2\times 3i+(3i)^2)\times (\overline{-2+4i})$
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= (4+12i-9)\times (\overline{-2+4i})$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= (-5+12 i)(-2-4i)$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= 10+20i-24i-48i^2$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= 10-4i+48$.
    $\phantom{z^2~\overline{z'}}= 58-4i$.
  3. $\dfrac{\overline{z}}{3iz'}$

    Rappel de cours

    Suppression des complexes au dénominateur

    Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
    soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
    Exemple:
    $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$

    Solution

    $\dfrac{\overline{z}}{3iz'}= \dfrac{\overline{2+3i}}{3i(-2+4i)}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{2-3i}{-6i+12i^2}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{2-3i}{-6i-12}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{(2-3i)(-12+6i)}{(-12+6i)(-12-6i)}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-24+12i+36i-18i^2}{12^2+6^2}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-24+48i+18}{180}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-6+48i}{180}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{6(-1+8i)}{6\times 30}$
    $\phantom{\dfrac{\overline{z}}{3iz'}}= \dfrac{-1+8i}{30}$
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Cours nº 1476


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Cours séquence 1

- forme algébrique des complexes et nombre i
- conjugué
- calculs avec les complexes

infos cours

| 20-25mn
série 2 : Forme algébrique d'un complexe- calculs avec les complexes

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