MATHS-LYCEE$ABCDEFGH$ est un cube de côté $a$.
- Calculer $\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{EG}$.
relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD}$ et $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}$$\overrightarrow{EG}.\overrightarrow{FD}$
$=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}).(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD})$
$=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}).(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD})$
$=\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{HD}$
$=-\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{GC}$
$E$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(FE)$ donc $\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}=FE^2=a^2$
$(FE)$ et $(EA)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}=0$
$G$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(FG)$ donc $\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FH}=FG^2=a^2$
$(FG)$ et $(GC)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{GC}=0$
donc $\overrightarrow{EG}.\overrightarrow{FD}=-a^2+0+a^2+0=0$
- Calculer $\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}$.
$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FD}$$\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}$
$=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB}).(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD})$
$=\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FH} +\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{HD}$
$=-\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FH} +\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FB}$
$\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}=a^2$ (voir question 1)
$(EF)$ et $EA)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}=0$
$(FB)$ et $(FH)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FH}=0$
$\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}=-a^2+0+0+a^2=0$
- En déduire que le plan $(EBG)$ est perpendiculaire à la droite $(FD)$.
droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
Il faut justifier que $(FD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(EBG)$$\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{EG}=0$ donc $(FD)$ et $(EG)$ sont orthogonales
$\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}=0$ donc $(EB)$ et $(FD)$ sont orthogonales
donc $(FD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(EBG)$
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Cours nº 1354
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Produit scalaire dans l'espace
- calcul du produit scalaire dans l'espace (les différentes expressions)
- produit scalaire et orthogonalité
infos cours
| mn
série 6 : Orthogonalité dans l'espace
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