$ABCDEFGH$ est un pavé droit tel que $AB=8$, $AD=5$ et $AE=3$.
- Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}$.
relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}$
$=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG})$
$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CG}$
On a $(AB)$ et $(BC)$ perpendiculaires donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$
et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{BF}$ donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BF}=0$ car $(AB)$ et $(FB)$ sont perpendiculaires
- Calculer $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{HC}$.
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{HC}$
$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}).(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$
$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{BC}$
$=0+AB^2+0+0 +0 +BC^2 +CF^2 +0$
$=64+25+9$
$=98$
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Cours nº 1354
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Produit scalaire dans l'espace
- calcul du produit scalaire dans l'espace (les différentes expressions)
- produit scalaire et orthogonalité
infos cours
| mn
série 6 : Orthogonalité dans l'espace
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