MATHS-LYCEEDéterminer les limites suivantes:
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2ln(x)$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Opérations sur les limites
On a ici le produit de $x^2$ et de $ln(x)$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{ln(x)}{x}$
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x}-5x-2ln(x)$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{2}{x}-5x-2ln(x)$Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Il faut chercher la limite de $\dfrac{2}{x}$, de $-5x$ et de $-2ln(x)$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x}=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-5x=-\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-2ln(x)=-\infty$
De même $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{2}{x}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}-5x=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}-2ln(x)=+\infty$
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)+\dfrac{1}{ln(x)}$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}ln(x)-\dfrac{1}{ln(x)}$On cherche la limite de chacun des termes de la somme$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{ln(x)}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}ln(x)=ln(1)=0^+$
et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}\dfrac{1}{ln(x)}=+\infty$ car pour $x > 1$ on a $ln(x)>0$
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Cours nº 1207
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Cours partie 2: dérivée et limites
- dérivée et limites de la fonction ln
- composition avec la fonction ln
infos cours
| 20mn
série 4 : Limites
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