Pour tout réel $x\neq 0$ on a $f(x)=x^3\left(1-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}\right)$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3=+\infty$
et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}=1$
donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3=-\infty$
et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1-\dfrac{5}{2x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}=1$
donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$

$f'(x)=3x^2-\dfrac{5}{2}\times 2x+2+0=3x^2-5x+2$

Etude du signe de $3x^2-5x+2$:
$\Delta =(-5)^2-4\times 2\times 3=1$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+1}{6}=1$
Penser à contrôler les racines obtenues avec le MENU EQUA de la calculatrice en utilisant POLY puis DEGRE 2 et en saisissant les coefficients $a=3$, $b=-5$ et $c=2$
$f'(x)=3x^2-5x+2$ est du signe de $a=3$ (coefficient de $x^2$) à l'extérieur des racines
donc $f'(x)>0$ sur $]-\infty;\frac{2}{3}[\cup]1;+\infty[$
$f(1)=-5,5$
et $f(\frac{2}{3})=\dfrac{-148}{27}$ (on peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice)

Remarque
On pouvait aussi remarquer que $3-5+2=0$ donc $x_1=1$ est une racine de $f~'(x)$.
Le produit des racines $x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{3}$
donc $x_2=\dfrac{2}{3}$

Sur $]-\infty;1[$:
le maximum de $f$ est $\frac{-70}{27}$ atteint en $x=\frac{2}{3}$
donc $f(x)\leq f(\dfrac{2}{3})<0$ et l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution.

Sur $[1;+\infty[$:
$f(1)=-5,5$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$
$f$ est continue (fonction polynôme) et 0 est compris entre $f(1)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
De plus, $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$
donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[1;+\infty[$.
Conclusion: L'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
Encadrement aux centièmes pour arrondir aux dixièmes avec la calculatrice
Pour encadrer aux centièmes la solution de l'équation $f(x)=0$ avec la calculatrice, on utilise le MENU TABLE de la calculatrice(voir aussi fiche méthode utilisation de la calculatrice pour encadrer une solution)
Rappel: on utilise le MENU TABLE de la calculatrice avec XSTART=-20 et XEND=20 par exemple et pour pas 1
On a alors 0 compris entre $f(2)$ et $f(3)$ puis on reprend avec XSTART=2 et XEND=3 et avec un pas 0,1...

Rédaction:
On obtient $f(2,61)<0$ et $f(2,62)>0$
$f(2,61)<0$ et $f(2,62)>0$
donc $2,61<\alpha <2,62$
donc $\alpha \simeq 2,6$

Sur $]-\infty;1[$, le maximum de $f$ est $f(\dfrac{2}{3})<0$ donc $f(x) \leq f(\dfrac{2}{3})<0$
Sur $[1;+\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante et $f(\alpha)=0$ donc sur $[1;\alpha[$, $f(x)\leq 0$ et sur $]\alpha;+\infty[$, $f(x)\geq 0$
On a alors:
\includegraphics[scale=0.8]{fig2
$f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$ et $f(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$.
On ne peut placer des valeurs approchées dans le tableau de variations ou le tableau de signe de $f$ donc on écrit $\alpha$ sachant que $\alpha \approx 2,6$