1. Home
  2. chapitre 2 Limites de fonctions
  3. exercice corrigé nº1119
PDF reservé aux abonnés
Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
  1. $f(x)=2x^3-3x^2+2$ définie sur $\mathbb{R}$.

    Rappel de cours

    Limite fonction polynôme en +oo

    $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$ polynôme de degré $n$
    - factoriser le terme de plus haut degré
    - chercher les limites de chaque terme de la parenthèse

    Aide

    En $-\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^3$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow-\infty}-3x^2$
    En $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^3$.

    Solution

    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x^3=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-3x^2=-\infty$


    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-3x^2=-\infty$
    donc la limite de la somme est indéterminée.
    Pour tout réel $x>0$ (on peut supposer $x\neq 0$ puisqu'on cherche la limite quand $x \longrightarrow +\infty$), on a:
    $f(x)=2x^3-3x^2+2=x^3\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^3}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{3}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x^3}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^3}=2$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^3=+\infty$
  2. $f(x)=-5x^4+3x^2-1$ définie sur $\mathbb{R}$.

    Aide

    En $-\infty$ et en $+\infty$, il y a indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^4$.

    Solution

    $f(x)=-5x^4+3x^2-1=x^4\left(-5+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3}{x^2}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-\dfrac{1}{x^4}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-5+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}=-5$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^4=+\infty$


    Limite en $+\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x^2}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{x^4}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-5+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{1}{x^4}=-5$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^4=+\infty$
Attention les fonctions ci-dessous sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
valider cet exercice
marquer cet exercice à revoir

Cours nº 1102


Vous pouvez retourner sur le cours après avoir vu cette vidéo.

Opérations sur les limites

- limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
- croissances comparées de exp(x) et $x^n$
- limite d'un polynôme
- limite d'une fonction rationnelle

infos cours

| 15-20mn
série 6 : Limites utilisant les fonctions de références et opérations sur les limites

retour sur le cours

exercices semblables


Si vous souhaitez vous emtraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
Limite d'un polynôme
| 5-8mn |
Limite d'une fonction rationnelle en +oo
| 6-10mn |
Algorithme de recherche d'une limite et Python
| 8-10mn |