MATHS-LYCEEDans chaque cas, déterminer, si cela est possible $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=+\infty$Opérations sur les limites
Utiliser les résultats des limites pour une somme, un produit et un quotient.
Il faut essayer de déterminer ces limites de manière "intuitive" sans nécessairement connaître tous les résultats.
Il faut par contre connaître les cas d'indétermination.Par somme, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)=+\infty$
Par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)=+\infty$
Par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$
On peut retrouver les résultats du cours en raisonnant ainsi:
Par exemple pour la somme, on ajoute $f(x)$ proche de 1 avec $g(x)$ infiniment grand...
Pour le quotient, on divise $f(x)$ proche de 1 par un nombre $g(x)$ très grand... - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0^+$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Par somme, on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)$ est indéterminée.
Par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=-\infty$Par somme, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+g(x)$ est indéterminée.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)g(x)=-\infty$
Par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{f(x)}=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ est indéterminée.
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Cours nº 1102
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Opérations sur les limites
- limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient
- croissances comparées de exp(x) et $x^n$
- limite d'un polynôme
- limite d'une fonction rationnelle
infos cours
| 15-20mn
série 6 : Limites utilisant les fonctions de références et opérations sur les limites
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