On peut noter $P_n$ la propriété $(1+a)^n\geq 1+na$ pour tout entier naturel $n$
-Initialisation
Pour $n=0$, on a $(1+a)^0=1$ (rappel $\alpha^0=1$ par convention)
et $1+0\times a=1$
donc la propriété $P_0$ est vraie.
- Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel $n>0$ tel que $P_n$ soit vraie.
On a alors $(1+a)^n\geq 1+na$
$(1+a)^{n+1}=(1+a)^n\times (1+a)$
or$(1+a)^n\geq 1+na$
donc $(1+a)^n\times (1+a)\geq (1+na)(1+a)$
or $(1+na)(1+a)=1+a+na+a^2=1+(n+1)a+a^2$
donc $(1+na)(1+a)\geq 1+(n+1)a$ (car $a^2>0$)
donc $(1+a)^{n+1}\geq 1+(n+1)a$ (propriété $P_{n+1}$)
On a donc montré que $P_0$ est vraie et que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie
donc pour tout entier naturel $n$, on a $(1+a)^n\geq 1+na$