MATHS-LYCEEEtudier les variations des suites géométriques ci-dessous.
- $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $q=3$.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.$u_{n+1}=3u_n$ et $u_n=u_0\times q^n=-2\times 3^n$$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $q=3$.
donc $u_{n+1}=3u_n$ et $u_n=u_0q^n=-2\times 3^n$
$u_{n+1}-u_n=3u_n-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=2u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=2\times (-2)\times 3^n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-4\times 3^n$
$3^n>0$ donc $-4\times 3^n<0$
donc $u_{n+1}-u_n<0$
- $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n$ et $u_n=\dfrac{1}{2^n}$$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=\dfrac{1}{2}$.
donc $u_n=u_0q^n=3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=3\times \dfrac{1}{2^n}$
$u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u_n-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{2}u_n-\dfrac{2}{2}u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-\dfrac{1}{2}u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-\dfrac{1}{2}\times 3\times \dfrac{1}{2^n}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-3\times \dfrac{1}{2^{n+1}}$
$\dfrac{1}{2^{n+1}}>0$ donc $-3\times \dfrac{1}{2^{n+1}}<0$
donc $u_{n+1}-u_n<0$
- $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-4$ et de raison $q=0,2$.
$u_{n+1}=0,2u_n$ et $u_n=u_0\times q^n=-4\times 0,2^n$$(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=-4$ et de raison $q=0,2$.
donc $u_{n+1}=0,2u_n$ et $u_n=u_0q^n=-4\times 0,2^n$
$u_{n+1}-u_n=0,2u_n-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,8u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,8\times (-4)\times 0,2^n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=3,2\times 0,2^n$
$0,2^n>0$ donc $3,2\times 0,2^n>0$
donc $u_{n+1}-u_n>0$
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Cours nº 1039
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Rappels de première
- suites arithmétiques
- suites géométriques
infos cours
| 15-20mn
série 2 : Variations d'une suite (rappels de première)
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Variations d'une suite
- méthodes possibles
- exemples types
- cas des suites arithmétiques et géométriques
infos: | 10-15mn |