Exercice 1 (4 points)
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points $A(2;-3;4)$, $B(5;1;2)$ et $C(1;-2;3)$.
  1. Déterminer les coordonnées de $D$ pour que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace


    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
    Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ doivent avoir les même coordonnées.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=5-2=3\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-(-3)=4\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=2-4=-2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{DC}}=x_C-x_D=1-x_D\\ y_{\overrightarrow{DC}}=y_C-y_D=-2-y_D\\ z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D=3-z_D \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix} 1-x_D\\ -2-y_D\\ 3-z_D \end{pmatrix} $
    $ABCD$ est un parallélogramme $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
    $\phantom{ABCD~~ est~~un~~parallelogramme} \Longleftrightarrow \begin{cases} 3=1-x_D\\ 4=-2-y_D\\ -2=3-z_D \end{cases}$
    $\phantom{ABCD~~ est~~un~~parallelogramme} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_D=-2\\ y_D=-6\\ z_D=5 \end{cases}$
  2. Soit $E(2;4;2)$, montrer que le point $E$ n'appartient pas au plan $(ABC)$.

    vecteurs coplanaires


    Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.
    Il faut montrer qu'il n'existe pas de couple de réel $(x;y)$ tel que $\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$
    Il faut écrire un système d'équations d'inconnues $x$, $y$ et $z$ formé avec les coordonnées des vecteurs
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} $, $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} $ et $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 0\\ 7\\ -2 \end{pmatrix} $
    Si $E$ appartient au plan $(ABC)$, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ et ces deux réels doivent vérifier le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} 0=3x+3y\\ 7=4x+4y\\ -2=-2x-2y \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 0=x+y\\ 7=4x+4y\\ 1=x+y \end{cases}$
    On ne peut avoir $x+y=0$ et $x+y=1$ donc il n'existe pas de couple de réels $(x;y)$ tel que $\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$
    donc les points $A$, $B$, $C$ et $E$ ne sont pas coplanaires
Exercice 2 (6points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=-4+2t\\ y=-2+t\\ z=2-4t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ et le point $A$ a pour coordonnées $(3;-1;2)$
  1. Le point $A$ appartient-il à la droite $d$?
    Il faut déterminer la valeur de $t$ en utilisant l'abscisse de $A$ et calculer $y$ puis $z$ avec cette valeur
    $x_A=-4+2t \Longleftrightarrow 3=-4+2t\Longleftrightarrow t=\dfrac{7}{2}$
    On a alors $y=-2+t=-2+\dfrac{7}{2}=\dfrac{3}{2}\neq y_A$
  2. Déterminer une représentation paramétrique de $d'$ parallèle à $d$ et passant par $A$.

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
    Un vecteur directeur de $d$ est aussi un vecteur directeur de $d'$
    La droite $d$ a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=-4+2t\\ y=-2+t\\ z=1-4t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ donc $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -4 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d$ donc de $d'$ puisque $d$ et $d'$ sont parallèles.
    donc $\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{u}}=3+2t\\ z=y_A+ty_{\overrightarrow{u}}=-1+t\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{u}}=2-4t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de $d'$.
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $B(2; 1;-10 )$

    Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


    Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
    Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
    $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-3=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-(-1)=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-10-2=-12 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -12 \end{pmatrix} $ est un vecteur directeur de $(AB)$
    Si $M(x;y;z)$ appartient à $(AB)$, on a $\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}=3-t'\\ z=y_A+ty_{\overrightarrow{u}}=-1+2t'\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{u}}=2-12t' \end{cases}$
  4. Les droites $d$ et $(AB)$ sont-elles sécantes?
    Il faut écrire un système d'équations d'inconnues $t$ et $t'$ formé avec les représentations paramétrique de $d$ et $(AB)$.
    On doit avoir $\begin{cases} x=-4+2t\\ y=-2+t\\ z=2-4t \end{cases}$ et $\begin{cases} x=3-t'\\ y=-1+2t'\\ z=2-12t' \end{cases}$
    donc $t$ et $t'$ sont les solutions du système suivant: $\begin{cases} -4+2t=3-t' \\ -2+t=-1+2t'\\ 2-4t=2-12t' \end{cases}$
    On peut déterminer $t$ et $t'$ en utilisant les deux premières équations.
    $\begin{cases} -4+2t=3-t' \\ -2+t=-1+2t' \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -4+2(1+2t')=3-t' \\ t= 1+2t' \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4+2t=3-t' \\ -2+t=-1+2t' \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -4+2+4t'=3-t' \\ t= 1+2t' \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4+2t=3-t' \\ -2+t=-1+2t' \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} 5t'=5 \\ t= 1+2t' \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4+2t=3-t' \\ -2+t=-1+2t' \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} t'=1 \\ t=3 \end{cases}$
    On vérifie que le couple de réels obtenu est aussi solution de la troisième équation ($2-4t=2-12t'$):
    $2-4t=2-12=-10$ et $2-12t'=2-12=-10$ donc $2-4t=2-12t'$
    En remplaçant $t=3$ dans la représentation de $d$ on a alors:
    $\begin{cases} x=-4+2t=-4+6=2\\ y=-2+t=-2+3=1\\ z=2-4t=2-12=-10 \end{cases}$

Fiche méthode


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Vecteurs et points coplanaires

- justifier que trois vecteurs sont coplanaires avec leurs coordonnées
- justifier que 4 points sont coplanaires


infos: | 15-20mn |

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