Exercice 1 (4 points)
  1. Calculer $ln(e^3)-3ln(1)$

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$
    Rappel $ln(e)=1$
    $ln(e^3)-3ln(1)=3ln(e)-3ln(1)$ (rappel: $ln(e)=1$ et $ln(1)=0$)
  2. Ecrire sous forme d'un seul logarithme $2ln(3)-3ln(2)$
    Utiliser $nln(a)=ln(a^n)$ avec $n\in \mathbb{N}$ et $a > 0$
    $2ln(3)-3ln(2)=ln(3^2)-ln(2^3)=ln(9)-ln(8)=ln\left(\dfrac{9}{8} \right)$
  3. Exprimer en fonction de $ln(2)$: $ln(4)-2ln(3)+ln(36)$
    $4=2^2$ et $36=3^2\times 2^2$
    $ln(4)-2ln(3)+ln(36)$
    $~~~~=ln(2^2)-ln(3^2)+ln(36)$
    $~~~~=ln\left( \dfrac{2^2}{3^2}\right) +ln(36)$
    $~~~~=ln\left( \dfrac{2^2\times 36}{3^2}\right)$
    $~~~~=ln\left( \dfrac{2^2\times 4\times 9}{9}\right)$
    $~~~~=ln\left( 2^2\times 4\right)$
    $~~~~=ln\left( 2^2\times 2^2 \right)$
    $~~~~=ln\left( 2^4 \right)$
    $~~~~=4ln\left( 2 \right)$
Exercice 2 (7 points)
  1. Résoudre dans $]0;+\infty[$, $ln(x)=2$

    Lien entre logarithme et exponentielle


    - Pour tout réel $a >0$ on a $e^{ln(a)}=a$
    - Pour tout réel $b$ on a $ln(e^b)=b$
    - Valeurs particulières
    $ln(1)=0$ et $ln(e)=1$
    $ln(x)=2\Longleftrightarrow x=e^2$ (rappel: $ln(e^x)=x$)
  2. Résoudre dans $]0;+\infty[$, $3ln(x)-ln(x^2)=1$

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$

    Equations et inéquations avec ln


    La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a:
    $ln(a)=ln(b)\Longleftrightarrow a =b$
    $ln(a) < ln(b) \Longleftrightarrow a < b$
    Rappel $ln(x^2)=2ln(x)$
    $3ln(x)-ln(x^2)=1$
    $\Longleftrightarrow 3ln(x)-2ln(x)=1$
    $\Longleftrightarrow ln(x)=1$
    $\Longleftrightarrow x=e$
  3. Résoudre $x^3=5$
    $ln(x^3)=ln(5)$ et $ln(x^3)=3ln(x)$
    $x^3=5$
    $ \Longleftrightarrow x=5^{\dfrac{1}{3}}$


    On peut aussi écrire:
    $x^3=5 \Longleftrightarrow ln(x^3)=ln(5)$
    $\phantom{x^3=5} \Longleftrightarrow 3ln(x)=ln(5)$
    $\phantom{x^3=5} \Longleftrightarrow x=e^{\frac{ln(5)}{3}}$
    et $e^{\frac{ln(5)}{3}}=\left( e^{ln(5)}\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}$
  4. Résoudre dans $]0;+\infty[$, $2ln(x) < 4$
    $-2ln(x) < 4$
    $\Longleftrightarrow ln(x) > 2$

    $\Longleftrightarrow ln(x) > ln(e^2)$

    $\Longleftrightarrow x > e^2$
  5. Résoudre $ln(x+1)+ln(2-x)=0$
    Chercher d'abord l'ensemble de résolution (il faut $x+1 > 0$ et $2-x > 0$)
    Regrouper en un seul logarithme le membre de gauche
    Recherche de $D_f$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
    donc il faut $x+1 > 0$ et $2-x > 0$
    $x+1 > 0 \Longleftrightarrow x > -1$
    et $2-x > 0 \Longleftrightarrow 2 > x$
    On veut donc $x > -1$ et $x < 2$


    On résout sur $]-1;2[$:
    $ln(x+1)+ln(2-x)=0 \Longleftrightarrow ln\left[(x+1)(2-x) \right] =ln(1)$

    $\phantom{ln(x+1)+ln(2-x)=0} \Longleftrightarrow ln\left[-x^2+x+2 \right] =ln(1)$

    $\phantom{ln(x+1)+ln(2-x)=0} \Longleftrightarrow -x^2+x+2 =1$

    $\phantom{ln(x+1)+ln(2-x)=0} \Longleftrightarrow -x^2+x+2-1=0$
    Recherche des solutions de $-x^2+x+1=0$
    $\Delta=b^2-4ac=1-4\times (-1)\times 1=1+4=5$
    $\Delta > 0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,62$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,62$
    On résout sur $]-1;2[$
Exercice 3 (9 points)
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2500.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5;25] par $f(x) = 18 ln x - x^2 + 16x - 15$.
Si $x$ représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f(x)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
On suppose que $f$ est dérivable sur $[0,5;25]$, et on note $f~'$ sa fonction dérivée.
  1. Calculer $f~'(x)$.
    Vérifier que, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0,5;25], on a $f~'(x) = \dfrac{- 2x^2 + 16x + 18}{x}$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    Réduire au même dénominateur pour retrouver le résultat de l'énoncé.
    $f~'(x)=18\times \dfrac{1}{x}-2x+16= \dfrac{18}{x}-\dfrac{2x^2}{x}+\dfrac{16x}{x}=\dfrac{18-2x^2+16x}{x}$
  2. Étudier le signe de $f~'(x)$ sur l'intervalle [0,5;25].

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    $x > 0$ donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur
    $x\in [0,5~;~25]$ donc $f~'(x)$ est du signe de numérateur $- 2x^2 + 16x + 18$
    recherche des racines de $- 2x^2 + 16x + 18$
    $\Delta=b^2-4ac=16^2-4\times (-2)\times 18=400=20^2$
    $\Delta > 0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-16-20}{-4}=9$
    et
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-16+20}{-4}=-1$ $x_2 \notin [0,5~;~25]$

    Signe de $- 2x^2 + 16x + 18$ $- 2x^2 + 16x + 18$ est du signe de $a=-2$ coefficient de $x_2$ sur $[9;+\infty[$

    conclusion
    $f~'(x) < 0$ sur $[9;25]$
  3. Calculer $f(1)$.
    $f(1)=18 \ln (1) - 1^2 + 16 - 15=0$
  4. Montrer que sur l'intervalle [18~;~19] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$.
    Déterminer une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{- 2}$ près.

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    Il faut calculer $f(18)$ et $f(19)$ et vérifier que 0 est compris entre $f(18)$ et $f(19)$
    sur l'intervalle [18~;~19]:
    $f$ est continue donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend toute valeur comprise entre $f(18)$ et $f(19)$.
    On a $f(18)\approx 1$ et $f(19)\approx -19$
    $0$ est compris entre $f(18)$ et $f(19)$ et $f$ est strictement décroissante

    Avec le MENU TABLE de la calculatrice, en saisissant $f(x)$ en Y1 et en paramétrant dan SET XSTART=18, XEND=19 et STEP=0,1 dans un premier temps puis STEP=0,01 ensuite avec les bornes de l'encadre,ment aux dixièmes , on a:
    $f(18,05)\approx 0,07$ et $f(18,06)\approx -0,12$
    donc $18,05 < \alpha < 18,06$
  5. En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5;25].

    On peut placer $\alpha$ et $f(\alpha)=0$ dans le tableau de variation de $f$.
    $f(\alpha)=0$ donc on a:

  6. Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?
    L'entreprise fait du bénéfice si $f(x) > 0$
    L'entreprise est bénéficiaire quand $f(x) > 0$
    $f(x) > 0$ pour $x\in ]1;\alpha[$
    donc il faut vendre au au minimum 1 centaine de panneaux et au maximum $\alpha$ centaines de panneaux
    en prenant la valeur approchée par défaut de $\alpha$ (car si $x > \alpha$, on a $f(x) < 0$) on a bien $f(x) > 0$
  7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100~000 euros ? Justifier la réponse.
    Plusieurs méthodes sont possibles, notamment en utilisant le menu TABLE de la calculatrice.
    D'après le tableau de variation de $f$, le maximum de $f$ est atteint en $x=9$ et vaut $f(9)\approx 87,55$ (en milliers d'euros)
    soit un bénéfice maximum de 87 550 euros environ

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