Exercice 1 (3 points)
Résoudre:
  1. $ln(x)=3$

    Lien entre logarithme et exponentielle


    - Pour tout réel $a >0$ on a $e^{ln(a)}=a$
    - Pour tout réel $b$ on a $ln(e^b)=b$
    - Valeurs particulières
    $ln(1)=0$ et $ln(e)=1$
    $ln(x)=3 \Longleftrightarrow x=e^3$
  2. $ln(x)=-2$
    $ln(x)=-2 \Longleftrightarrow x=e^{-2}$
  3. $e^x=4$
    $e^x=4 \Longleftrightarrow x=ln(4)$
  4. $e^x=4$
    On a $e^x >0$
    $e^x=-2$
    Pour tout réel $x$ on a $e^x > 0$
    donc il n'y a aucune solution.
Exercice 2 (4 points)
  1. Ecrire les expressions suivantes sous la forme $a+bln(3)$ avec $a$ et $b$ réels:
    $A=ln(27)+ln\left(\dfrac{e}{3}\right)$ et $B= ln\left(\dfrac{e^2}{9}\right) + ln(3^4)$

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$
    On a $27=3^3$ et $ln(e)=1$
    $A=ln(27)+ln\left(\dfrac{e}{3}\right)$
    $=ln(3^3)+ln(e)-ln(3)$
    $=3ln(3)+ln(e)-ln(3)$
    $=2ln(3)+1$

    $B= ln\left(\dfrac{e^2}{9}\right) + ln(3^4)$
    $=ln(e^2)-ln(9)+4ln(3)$
    $=2ln(e)-ln(3^2)+4ln(3)$
    $=2-2ln(3)+4ln(3)$
    $=2+2ln(3)$
  2. Montrer que $ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)$ est un entier.

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$
    On a $9=3^2$
    $ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)=ln2-ln3+ln(3^2)-(ln6+ln(e^5))$

    $\phantom{ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)}=ln2-ln3+2ln3-ln(3\times 2)-5lne$

    $\phantom{ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)}=ln2+ln3-ln3-ln2-5$

    $\phantom{ln\left( \dfrac{2}{3}\right) +ln(9)-ln(6e^5)}=-5$
Exercice 3 (3 points)
Calculer la dérivée de la fonction $f$ dérivable sur $I$.
  1. $f(x)=5xln(x)$ sur $I=]0;+\infty[$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    Limites de ln


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
    On pose $u(x)=5x$ et $v(x)=ln(x)$
    On pose $u(x)=5x$ et $v(x)=ln(x)$
    et on a $u'(x)=5$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $=5ln(x)+5x\times \dfrac{1}{x}$
    $=5ln(x)+5$
  2. $f(x)=ln(3x-6)$ sur $I=]2;+\infty[$

    Dérivée de ln(u)


    $u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
    $ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$

    Dérivée d'une fonction composée


    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.
    On pose $u(x)=3x-6$
    $u(x)=3x-6$ et $u'(x)=3$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{3}{3x-6}$


    Avec la dérivée d'une fonction composée, on a:
    On pose $u(x)=3x-6$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=vou(x)$
    $u'(x)=3$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=\dfrac{1}{3x-6}\times 3=\dfrac{3}{3x-6}$
  3. $f(x)=\dfrac{x}{ln(x)}$ sur $I=]1;+\infty[$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{1ln(x)-x\times \dfrac{1}{x}}{(ln(x) )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{ln(x)-1}{(ln(x) )^2}$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs de dérivées

- dérivée de ln et utlisation de la dérivée d'un produit ou quotient
- dérivée de la composée avec ln


infos: | 20mn |

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