Exercice 1 (3 points)
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$\begin{cases} u_{n+1}=-0,2u_n^2+u_n \quad \text{pour }n\in\mathbb{N}\\ u_0=-1 \end{cases}$
On pose $f(x)=-0,2x^2+x$ pour $x\in \mathbb{R}$.
Le graphique ci-dessous représente la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
  1. Représenter sur l'axe des abscisses les premiers termes $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$ de la suite. Vous laisserez les traits de construction apparents.
    Donner si possible une conjecture sur les variations de la suite $(u_n)$ et sur la limite éventuelle de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
    $ u_{n+1}=-0,2u_n^2+u_n $ et $f(x)=-0,2x^2+x$ donc on a $u_{n+1}=f(u_n)$
    Par exemple $u_1=f(u_0)=-0,2u_0^2+u_0$
    $ u_{n+1}=-0,2u_n^2+u_n $ et $f(x)=-0,2x^2+x$ donc on a $u_{n+1}=f(u_n)$
    Par exemple $u_1=-0,2u_0^2+u_0=f(u_0)$, $u_2=-0,2u_1^2+u_1=f(u_1)$...
    On obtient $u_1$ sur l'axe des ordonnées et on peut "ramener" $u_1$ sur l'axe des abscisses en traçant la droite $D$ d'équation $y=x$.

  2. Démontrer par un calcul votre conjecture sur les variations de $(u_n)$.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    On ne peut étudier les variations de la fonction associée que si la suite est définie sous forme explicite, ce qui n'est pas le cas ici.
    Il faut exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $u_n$.
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $u_{n+1}-u_n=-0,2u_n^2+u_n-u_n=-0,2u_n^2$
    $u_n^2 \geq 0$ donc $-0,2u_n^2 \leq 0$
    donc $u_{n+1}-u_n\leq 0$ soit $u_{n+1}\leq u_n$


    La notation $(u_n)$ correspond à l'ensemble des termes de la suite
    mais $u_n$ est le terme d'indice $n$ et seulement celui-ci.
Exercice 2 (2 points)
On considère une suite arithmétique $(u_n)$ telle que $u_{17} = 24$ et $u_{40} = 70$.
Calculer sa raison $r$ et son premier terme $u_0$.

Suite arithmétique


Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
Il faut utiliser la relation $u_n=u_p+(n-p)r$ pour obtenir une équation d'inconnue $p$.
Si on note $r$ la raison de la suite arithmétique $(u_n)$, on a $u_{40}=u_{17}+(40-17)r$.
$u_{40}=u_{17}+(40-17)r \Longleftrightarrow 70=24+23r$
$\phantom{u_{40}=u_{17}+(40-17)r} \Longleftrightarrow 46=23r$
$\phantom{u_{40}=u_{17}+(40-17)r} \Longleftrightarrow 2=r$
On a donc $u_n=u_0+nr=u_0+2n$
$u_{17}=u_0+2\times 17 \Longleftrightarrow 24=u_0+34$
$\phantom{u_{17}=u_0+2\times 17} \Longleftrightarrow -10=u_0$

On a donc $u_n=-10+2n$.

Penser à contrôler les résultats en calculant $u_{17}$ et $u_{40}$
Exercice 3 (6 points)
Les suites suivantes sont-elles arithmétiques, géométriques ? si oui, vous préciserez la raison et le premier terme.
  1. $u_n=(-2)^n$, $n\in \mathbb{N}$.

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    On peut calculer les premiers termes (avec le MENU RECUR) de la calculatrice éventuellement pour avoir une idée du résultat
    Pour justifier que la suite n'est pas géométrique, il suffit de vérifier que $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ mais pour montrer qu'elle est géométrique il faut justifier que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ (si $u_n\neq 0$) pour tout entier naturel $n$ (voir fiche méthode suites arithmétiques et géométriques).
    Rappel de troisième: $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ avec $a\neq 0$ et $n$ et $p$ entiers
    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\neq 0$.
    $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n}=(-2)^{n+1-n}=(-2)^1=-2$
    Pour $n=0$, on a $u_0=(-2)^0=1$.
  2. $u_n=2^{2n+4}$, $n\in \mathbb{N}$.
    On peut calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\neq 0$.
    $u_{n+1}=2^{2(n+1)+4}=2^{2n+6}$
    $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{2n+6}}{2^{2n+4}}=2^{2n+6-2n-4}=2^{2}=4$
    Pour $n=0$, on a $u_0=2^{2\times 0+4}=2^4=16$.
  3. $u_n=\dfrac{5n+3}{2}$, $n\in \mathbb{N}$.
    On peut calculer les premiers termes (avec le MENU RECUR) de la calculatrice éventuellement pour avoir une idée du résultat
    Rappel: Pour justifier que la suite n'est pas arithmétique, il suffit de vérifier que $u_1-u_0\neq u_2-u_1$ mais pour montrer qu'elle est arithmétique il faut justifier que $u_{n+1}-u_n=r$ pour tout entier naturel $n$ (voir fiche méthode suites arithmétiques et géométriques).
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $u_{n+1}=\dfrac{5\times (n+1)+3}{2}=\dfrac{5n+8}{2}$
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{5n+8}{2}-\dfrac{5n+3}{2}=\dfrac{5n+8-5n-3}{2}=\dfrac{5}{2}$
    $u_0=\dfrac{5\times 0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$


    On peut aussi remarquer que $u_n=\dfrac{5n}{2}+\dfrac{3}{2}$
    donc est de la forme $u_n=u_0+n\times r=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}\times n$
  4. $u_n=n^2$, $n\in \mathbb{N}$.
    On peut calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
    $u_0=0^2=0$, $u_1=1^2=1$ et $u_2=2^2=4$
    $u_1-u_0=1-0=1$ et $u_2-u_1=4-1=3$ donc $u_1-u_0\neq u_2-u_1$

    $\dfrac{u_0}{u_1}=0$ et $\dfrac{u_1}{u_2}=\dfrac{1}{4}$


    On a $u_0=0$ donc si $(u_n)$ était géométrique alors $u_n=0$ pour tout entier naturel $n$!!
Exercice 4 (3 points)
On empile des canettes de la façon indiquée sur la figure.

On note $r_n$ le nombre de canettes sur la $n$ième rangée.
  1. Quelle est la nature de la suite $(r_n)$ ?

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$
    Il faut chercher une relation entre le nombre de boîtes de la nième rangée et le nombre de boîte de la n+1 ième rangée.
    $r_{n}$ est le nombre de boîtes de la nième rangée et $r_{n+1}$ est le nombre de boîte de la rangée suivante (juste en-dessous) c'est à dire de la n+1 ième rangée.
    Entre chaque rangée, on ajoute deux boîtes donc on a $r_{n+1}=r_n+2$ (définition d'une suite arithmétique)
  2. Ecrire $r_n$ en fonction de $n$.

    Forme explicite d'une suite arithmétique


    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
    Il faut déterminer le premier terme $r_1$
    La première rangée comporte une boîte donc on a $r_1=1$ et la suite $(r_n)$ est donc définie pour $n\geq 1$
    On a donc $r_n=r_1+(n-1)r=1+(n-1)\times 2$
  3. Quel est le nombre de canettes nécessaires pour faire un empilement de 25 rangées ?
    0

    Somme des termes d'une suite arithmétique


    La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est
    $S=n+1\dfrac{u_0+u_n }{2}$ avec $u_n=u_0+nr$

    Mémo: $S=$nombre de termes$\times \dfrac{\text{premier terme}+\text {dernier terme}}{2}$
    On veut calculer $r_1+r_2+.......+r_{25}$
    Le nombre de cannettes nécessaires pour faire 25 rangées correspond à $S=r_1+r_2+.....+r_{25}$
    $r_{25}=1+2\times (25-1)=1+2\times 24=49$
    $S=25\times \dfrac{r_1+r_{25}}{2}$ (il y a 25 termes de $r_1$ à $r_{25}$)
    $\phantom{S}=25\times \dfrac{1+49}{2}$
    $\phantom{S}=625$
Exercice 5 (3 points)
On donne l'algorithme suivant:
  1. Donner les différentes valeurs calculées par l'algorithme.
    On peut utiliser un tableau donnant la valeur des différentes variables à chaque étape.
  2. Donner l'expression d'une suite $(u_n)$ dont les valeurs sont celles calculées par l'algorithme.
    A chaque étape on calcule $u^2-1$ pour obtenir une nouvelle valeur de $u$
    $i$ représente les indices de 1 à 4 et à chaque étape on calcule $u^2-1$ pour obtenir une nouvelle valeur de $u$
    donc on peut définir une suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ de premier terme $u_1=2$ et telle que $u_{n+1}=u_n^2-1$
Exercice 6 (4 points)
Calculez la somme $S_n=1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{3^{n}}$ en fonction de $n\in\mathbb{N}^*$.

Somme des termes d'une suite géométrique


La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
identifier la suite $(u_n)$ telle que $S_n=u_0+u_1+u_2+....+u_n$
Si on note $(u_n)$ la suite géométrique $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=\dfrac{1}{3}$.
On a alors $u_n=u_0\times q^n=1\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\dfrac{1^n}{3^n}=\dfrac{1}{3^n}$
$u_1=\dfrac{1}{3}$, $u_2=\dfrac{1}{3^2}$...
on a alors $S_n=u_0+u_1+u_2+.......+u_n$
$\phantom{S_n}=u_0\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$\phantom{S_n}=1\times \dfrac{1-\dfrac{1}{3^{n+1}}}{\dfrac{2}{3}}$
$\phantom{S_n}=\dfrac{3}{2}\times \left(1-\dfrac{1}{3^{n+1}}\right)$
$\phantom{S_n}= \dfrac{3-\dfrac{1}{3^{n}}}{2}$