Exercice 1 (6 points)
On donne ci-dessous la représentation graphique notée $C_f$ de la fonction $f$.

A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes:
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ que l'on notera $D_f$.

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
    Les abscisses des points de la courbe varient de $-3$ à 3

  2. Déterminer le maximum et le minimum de $f$.

    Extremums d'une fonction: maximum et minimum


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.
    Le maximum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $M$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\leq M$
    Le minimum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $m$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\geq m$
    $f$ admet un extremum sur I si $f$ admet un maximum ou un minimum sur I.

    Le maximum ou le minimum se lit sur l'axe des ordonnées sur le graphique.

  3. Déterminer l'image de 2 par $f$.
    Il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse 2
    Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 2 a pour ordonnée 1
  4. Déterminer les antécédents de 1 par $f$.
    Il faut déterminer les abscisses des poinst de la courbe ayant pour ordonnée 1
    Il y a 3 points de la courbe ayant pour ordonnée 1


  5. Résoudre l'équation $f(x)=3$.
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 3 (antécédents de 3 par $f$)
    Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=3$(en bleu sur le graphique)


    $f(x)=3$ pour $x=-2$ et $x=-1$.
  6. Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
    Il faut chercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 0.
    Les solutions de l'inéquation $f(x) > 0$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ (en pointillés bleus sur le graphique) situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

    donc $f(x) >0$ pour $x\in ]-3;0[$ ou pour $x\in ]1,5;3[$ (en pointillés verts sur l'axe des abscisses)

Exercice 2 (7 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x-5$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Calculer l'image de 3 par $f$ puis de $-2$ par $f$.
    Il faut remplacer $x$ par 3 puis par $-2$ dans l'expression de $f$.
    Il faut calculer $f(3)$.
    $f(3)=3^2-4\times 3-5=9-12-5=-8$
    $f(-2)=(-2)^2-4\times (-2)-5=4+8-5=7$
  2. Le point de coordonnées $(1;-7)$ appartient-il à la courbe $C_f$.
    Le point de coordonnées $(1;-7)$ appartient à la courbe si l'image de 1 par $f$ est $-7$.
    $f(1)=1^2-4\times 1-5=1-4-5=-8$
  3. Déterminer les antécédents de $-5$ par $f$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=-5$
    Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche puis factoriser
    $f(x)=-5 \Longleftrightarrow x^2-4x-5=-5$
    $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x^2-4x=0$
    $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x(x-4)=0$
    $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x-4=0$ (produit de facteurs nuls si l'un des facteurs est nul)
    $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$
  4. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$.

    Contrôler les résultats des questions précédentes sur le graphique (on fera apparaître les tracés sur le graphique).
    Tracés en pointillés:

Exercice 3 (7 points)
Une entreprise produit chaque jour un nombre $x$ d'objets et on a observé que chaque jour, le bénéfice de l'entreprise en euros est donné par la fonction $B$ définie par $B(x)=-2x^2+560x-10400$ avec $x\in [0 ;300]$.
La courbe $C$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$.
  1. Compléter le tableau de valeurs ci dessous puis terminer le tracé de la courbe $C$ dans le repère donné ci-dessous.

    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice.
    Avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant l'expression de $B(x)$ dans Y1 et en paramétrant dans SET XSTART=120, XEND=200 et STEP=20, on obtient:

  2. Montrer que pour tout $x\in [0 ;300]$, on a $B(x)=(2x-40)(-x+260)$
    On peut développer l'expression (2x-40)(-x+260)$
    $(2x-40)(-x+260)=-2x^2+520x+40x-10400=-2x^2+560x-10400=B(x)$.
  3. En déduire les solutions de l'équation $B(x)=0$
    il faut utiliser la forme factorisée pour résoudre cette équation
    rappel: un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
    $B(x)=0 \Longleftrightarrow (2x-40)(-x+260)=0$
    $ \phantom{B(x)=0}\Longleftrightarrow 2x-40=0$ ou $-x+260=0$
    $ \phantom{B(x)=0}\Longleftrightarrow x=20$ ou $x=260$
  4. Déterminer alors graphiquement le nombre d'objets à produire pour que l'entreprise ne soit pas en déficit.
    Il faut donc que $B(x)\geq 0$.
    On cherche les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de l'axe des abscisses.
    L'entreprise n'est pas en déficit si $B(x)\geq 0$ .
    D'après la question précédente, on sait que la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=20$ et en $x=260$.
    Les solutions de $B(x)\geq 0$ sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 0 (points en pointillés bleus sur le graphique).

    donc $B(x)\geq 0$ pour $x\in [20;260]$ (en pointillés verts sur l'axe des abscisses)

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