---

On donne ci-dessous la représentation graphique notée $C_f$ de la fonction $f$.

A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes:

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ que l'on notera $D_f$.

   Rappel de cours

   Ensemble de définition

   ---

   L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
   Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.

   Solution

   Les abscisses des points de la courbe varient de $-3$ à 3
   
   donc $D_f=[-3;3]$
2. Déterminer le maximum et le minimum de $f$.

   Rappel de cours

   Extremums d'une fonction: maximum et minimum

   ---

   $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.
   Le maximum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $M$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\leq M$
   Le minimum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $m$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\geq m$
   $f$ admet un extremum sur I si $f$ admet un maximum ou un minimum sur I.
   
   Le maximum ou le minimum se lit sur l'axe des ordonnées sur le graphique.

   Solution

   
   Le maximum de $f$ est 5 atteint en $x=-1,5$ et le minimum $-1,5$ atteint en $x=-0,5$.
3. Déterminer l'image de 2 par $f$.

   Aide

   Il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse 2

   Solution

   Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 2 a pour ordonnée 1
   donc $f(2)=1$
4. Déterminer les antécédents de 1 par $f$.

   Aide

   Il faut déterminer les abscisses des poinst de la courbe ayant pour ordonnée 1

   Solution

   Il y a 3 points de la courbe ayant pour ordonnée 1
   
   
   Les antécédents de 1 par $f$ sont $-2,5$, -0,5 et 2.
5. Résoudre l'équation $f(x)=3$.

   Aide

   Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 3 (antécédents de 3 par $f$)

   Solution

   Les solutions de l'équation $f(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=3$(en bleu sur le graphique)
   
   
   $f(x)=3$ pour $x=-2$ et $x=-1$.
   $S=\left\lbrace -2;-1\right\rbrace $
6. Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.

   Aide

   Il faut chercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 0.

   Solution

   Les solutions de l'inéquation $f(x) > 0$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ (en pointillés bleus sur le graphique) situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.
   
   donc $f(x) >0$ pour $x\in ]-3;0[$ ou pour $x\in ]1,5;3[$ (en pointillés verts sur l'axe des abscisses)
   $S=]-3;0[\cup ]1,5;3[$

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-4x-5$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

1. Calculer l'image de 3 par $f$ puis de $-2$ par $f$.

   Aide

   Il faut remplacer $x$ par 3 puis par $-2$ dans l'expression de $f$.

   Solution

   Il faut calculer $f(3)$.
   $f(3)=3^2-4\times 3-5=9-12-5=-8$
   $f(-2)=(-2)^2-4\times (-2)-5=4+8-5=7$
   $f(3)=-8$ et $f(-2)=7$
2. Le point de coordonnées $(1;-7)$ appartient-il à la courbe $C_f$.

   Aide

   Le point de coordonnées $(1;-7)$ appartient à la courbe si l'image de 1 par $f$ est $-7$.

   Solution

   $f(1)=1^2-4\times 1-5=1-4-5=-8$
   donc le point de coordonnées $(1;-7)$ n'appartient pas à la courbe.
3. Déterminer les antécédents de $-5$ par $f$.

   Aide

   Il faut résoudre l'équation $f(x)=-5$
   Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche puis factoriser

   Solution

   $f(x)=-5 \Longleftrightarrow x^2-4x-5=-5$
   $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x^2-4x=0$
   $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x(x-4)=0$
   $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x-4=0$ (produit de facteurs nuls si l'un des facteurs est nul)
   $\phantom{f(x)=-5}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=4$
   Les antécédents de $-5$ par $f$ sont 0 et 4.
4. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$.
   
   Contrôler les résultats des questions précédentes sur le graphique (on fera apparaître les tracés sur le graphique).

   Solution

   Tracés en pointillés:
   

Une entreprise produit chaque jour un nombre $x$ d'objets et on a observé que chaque jour, le bénéfice de l'entreprise en euros est donné par la fonction $B$ définie par $B(x)=-2x^2+560x-10400$ avec $x\in [0 ;300]$.
La courbe $C$ donnée ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$.

1. Compléter le tableau de valeurs ci dessous puis terminer le tracé de la courbe $C$ dans le repère donné ci-dessous.
   
   

   Aide

   On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice.

   Solution

   Avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant l'expression de $B(x)$ dans Y1 et en paramétrant dans SET XSTART=120, XEND=200 et STEP=20, on obtient:
   
   
2. Montrer que pour tout $x\in [0 ;300]$, on a $B(x)=(2x-40)(-x+260)$

   Aide

   On peut développer l'expression (2x-40)(-x+260)$

   Solution

   $(2x-40)(-x+260)=-2x^2+520x+40x-10400=-2x^2+560x-10400=B(x)$.
   donc $B(x)=(2x-40)(-x+260)$
3. En déduire les solutions de l'équation $B(x)=0$

   Aide

   il faut utiliser la forme factorisée pour résoudre cette équation
   rappel: un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.

   Solution

   $B(x)=0 \Longleftrightarrow (2x-40)(-x+260)=0$
   $ \phantom{B(x)=0}\Longleftrightarrow 2x-40=0$ ou $-x+260=0$
   $ \phantom{B(x)=0}\Longleftrightarrow x=20$ ou $x=260$
   $S=\{20;260\}$
4. Déterminer alors graphiquement le nombre d'objets à produire pour que l'entreprise ne soit pas en déficit.

   Aide

   Il faut donc que $B(x)\geq 0$.
   On cherche les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de l'axe des abscisses.

   Solution

   L'entreprise n'est pas en déficit si $B(x)\geq 0$ .
   D'après la question précédente, on sait que la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=20$ et en $x=260$.
   Les solutions de $B(x)\geq 0$ sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 0 (points en pointillés bleus sur le graphique).
   
   donc $B(x)\geq 0$ pour $x\in [20;260]$ (en pointillés verts sur l'axe des abscisses)
   L'entreprise n'est pas en déficit si elle produit entre 20 et 260 objets.