$w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$ donc pour tout entier naturel $n$, on a:

$w_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+2}{u_{n+1}-2}$

$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3u_n+4}{u_n+3}+2}{\dfrac{3u_n+4}{u_n+3}-2}$

$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{3u_n+4+2u_n+6}{u_n+3}}{\dfrac{3u_n+4-2u_n-6}{u_n+3}}$

$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{5u_n+10}{u_n+3}\times \dfrac{u_n+3}{u_n-2}$

$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{5u_n+10}{u_n-2}$

$\phantom{w_{n+1}}=5\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$

$\phantom{w_{n+1}}=5w_n$

donc $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 5.
En prenant $n=0$ dans $w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$, on a:
$w_0=\dfrac{u_0+2}{u_0-2}=-3$ (rappel $u_0=1$)
$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=5$ et premier terme $w_0=-3$

$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=5$ et premier terme $w_0=-3$
donc $w_n=w_0\times q^n=-3\times 5^n$

$w_n=\dfrac{u_n+2}{u_n-2}$

$\Longleftrightarrow w_n(u_n-2)=u_n+2$

$\Longleftrightarrow w_n\times u_n-2w_n=u_n+2$

$\Longleftrightarrow w_n\times u_n-u_n=2w_n+2$

$\Longleftrightarrow u_n(w_n-1)=2w_n+2$

$\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{2w_n+2}{ w_n-1 }$ ($w_n\neq 1$ puisque $w_n=-3\times 5^n$ donc $w_n<0$)
donc $u_n=\dfrac{2w_n+2}{ w_n-1 }=\dfrac{-6\times 5^n+2}{ -3\times 5^n-1 }$
$u_n=\dfrac{-6\times 5^n+2}{ -3\times 5^n-1 }$