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Déterminer si elles existent, les racines des polynômes de degré 2 ci-dessous et donner la forme factorisée si cela est possible:
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- $P(x)=-x^2-2x+3$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Forme factorisée
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$
- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
alors la forme factorisée de $P$ n'existe pasIdentifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$
Factoriser $P$ s'il y a une ou deux racinesIci, on a $a=-1$, $b=-2$ et $c=3$
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times (-1)\times 3=4+12=16$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-\sqrt{16}}{-2}=\dfrac{2-4}{-2}=\dfrac{-2}{-2}=1$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+\sqrt{16}}{-2}=\dfrac{2+4}{-2}=\dfrac{6}{-2}=-3$
On a alors $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-(x-1)(x-(-3))=-(x-1)(x+3)$
signes $-$ successifs: $x-x_2=x-(-3)=x+3$
Cela signifie que $P(1)=0$ et que $P\left(-3\right)=0$
Penser à contrôler les résultats avec la calculatrice MENU EQUATION - $P(x)=-16x^2-8x-1$
Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $P(x)=ax^2+bx+c$
Calculer $\Delta$
Donner les racines si $\Delta>0$ et l'unique racine (appelée racine double) si $\Delta=0$Ici, on a $a=-16$, $b=-8$ et $c=-1$
$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times (-16)\times (-1)=64-64=0$
$\Delta=0$ donc $P(x)$ admet une seule racine (racine double).
$x_1=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{-32}=\dfrac{-1}{4}$
On a alors $P(x)=a(x-x_1)^2=-16\left(x-\dfrac{-1}{4}\right)^2=-16\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2$
signes $-$ successifs: $x-x_1=x-\dfrac{-1}{4}$ - $P(x)=-2x^2+2x-5$
Ici, on a $a=-2$, $b=2$ et $c=-5$
$\Delta=b^2-4ac=(2)^2-4\times (-2)\times (-5)=4-40=-36$
$\Delta<0$ donc $P(x)$ n'admet aucune racine.
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