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- Ecrire $1+i$ sous forme trigonométrique et en déduire $(1+i)^6$.
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.Il faut calculer $|1+i|$ et on a $cos(\theta)=\dfrac{1}{|z|}$ et sin(\theta)=\dfrac{1}{|z|}$ avec $\theta=arg(1+i)$ ($2\pi$)$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
$1+i=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
Si on note $\theta=arg(z)$ ($2\pi$).
On a alors $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$)
$(1+i)^6=\sqrt{2}^6e^{i\frac{6\pi}{4}}=8e^{i\frac{3\pi}{2}}=8\left(cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)+isin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right)=-8i$
En effet $cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=cos\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=0$
et $sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=sin\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=-1$
- En utilisant la question 1, déterminer une solution possible notée $z_1$ de l'équation E: $z^3=-8i$.
- Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $z^3+8i=(z-2i)(az^2+bz+c)$.
Il faut développer $(z-2i)(az^2+9bz+c)$ puis identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$.$(z-2i)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-2iaz^2-2ibz-2ic=az^3+(b-2ai)z^2+(c-2ib)z-2ic$
donc pour tout complexe $z$ on a $z^3+8i=az^3+(b-2ai)z^2+(c-2ib)z-2ic$
donc par identification des coefficients, on a:
$\begin{cases} a=1\\ b-2ai=0\\ c-2bi=0\\ -2ic=8i \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=2i\\ c=-4\\ c=-4 \end{cases}$
- En déduire les solutions de E.
On admettra que la résolution d'une équation du second degré peut se faire de manière analogue à celle utilisée avec des réels.On calcule $\Delta$ avec $a=1$, $b=2i$ et $c=-4$$z^3=-8i \Longleftrightarrow z^3+8i=0 \Longleftrightarrow (z-2i)(z^2+2iz-4)=0 \Longleftrightarrow z=2i$ ou $z^2+2iz-4=0$
Résolution de $z^2+2iz-4=0$
$\Delta=(2i)^2-4\times 1\times (-4)=-4+16=12$
$z_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2i-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{-2i-2\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}-i$
$z_3=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2i+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{-2i+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-i$
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