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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par
$f(x)=e^x-2x+2$ et on note $C_f$ sa courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 2cm.
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- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Calculer $f'(x)$ puis $f'(1)$ et $f(1)$$f'(x)=e^x-2$
$f(1)=e^1-2+2=e$ et $f'(1)=e^1-2=e-2$
T: $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
$\phantom{T:y}=(e-2)(x-1)+e$
$\phantom{T:y}=(e-2)x-e+2+e$
$\phantom{T:y}=(e-2)x+2$
- Montrer que $f$ est convexe.
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveIl faut calculer puis étuider le signe de $f''(x)$$exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$f'(x)=e^x-2$
$f'$ est également dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $f''(x)=e^x$
Pour tout réel $x$, $e^x>0$ donc $f''(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
- On admet que $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine limité par $C_f$, la tangente T et les droites d'équations $x=0$ (axe des ordonnées) et $x=1$.
Après avoir colorié la zone correspondante sur le graphique ci-dessous, calculer $\mathcal{A}$
On donnera la valeur exacte en unités d'aire et la valeur arrondie aux centièmes en cm$^2$·
Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
Calculer l'aire $\mathcal{A}_2$ (trapèze) du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$ et on peut calculer $\mathcal{A}_2$ en utilisant la fonction affine $g$ don la rprésentation graphique est T
$=\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}$
Utiliser la convexité de $f$ pour calculer $\mathcal{A}$ en utilisant la position relative de $f$ et T.La fonction est convexe donc la courbe est au-dessus de ses tangentes.
On note $\mathcal{A}_1$ l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
Sur $[0;1]$, $f$ est continue et $f(x)>0$ donc $\mathcal{A}_1=\int_0^1 f(x)dx$
$F(x)=e^x-x^2+2x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
On a bien $F'(x)=e^x-2x+2=f(x)$
$F(1)=e^1-1^2+2=e+1$ et $F(0)=e^0-0^2+0=1$ (rappel $e^0=1$)
donc $\mathcal{A}_1=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=e+1-1=e$ u.a.
On note $\mathcal{A}_2$ l'aire du domaine limité par T, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$
$\mathcal{A}_2$ est l'aire d'un trapèze de petite base $b=OA=(e-2)\times 0+2=2$, de grande base $BB'=(e-2)\times 1+2=e-2+2=e$ et de hauteur $h=AB=1$
$\mathcal{A}_2=\dfrac{(2+e)\times 1}{2}=\dfrac{e+2}{2}$ u.a.
Si on note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(e-2)x+2$ donc la représentation graphique est T, on peut aussi calculer $\int_0^1 g(x)dx$ pour déterminer $\mathcal{A}_2$ avec $G(x)=\dfrac{(e-2)x^2}{2}+2x$.
$f$ est convexe donc $C_f$ est au-dessus de T donc
$\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A_2}$
$\phantom{\mathcal{A}}=e-(\dfrac{e+2}{2})$
$\phantom{\mathcal{A}}=\dfrac{2e-e-2}{2}$
$\phantom{\mathcal{A}}=\dfrac{e-2}{2}$
Le repère est orthonormé d'unité 2cm donc une unité d'aire est l'aire d'un carré de 2cm de côté.
1 u.a$=2\times 2=4$ cm$^2$
donc $\mathcal{A}=\dfrac{e-2}{2}\times 4=2(e-2)$ cm$^2$
Autre méthode:
$\mathcal{A}=\mathcal{A}_1-\mathcal{A_2}$
$=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx-\displaystyle \int_0^1 (e-2)x+2dx$
$=\displaystyle \int_0^1 f(x)-(e-2)x-2dx$
$=\displaystyle \int_0^1 e^x-2x+2-(e-2)x-2dx$
$=\displaystyle \int_0^1 e^x-ex dx$
$=\left[ e^x-e\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1$
$= e^1-\dfrac{e}{2}-e^0+0$
$= \dfrac{e}{2}-1$
Penser à contrôler le calcul de l'intégrale avec la calculatrice
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