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On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x-3}{x^2+7x-8}$.
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- Dresser le tableau de signes de $x^2+7x-8$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
il faut déterminer les racines du polynôme
Il faut déterminer les racines de $x^2+7x-8$
On peut remarquer que la somme des coefficients est nulle pour éviter de calculer le discriminant$1+7-8=0$ donc $x_1=1$ est une racine de $x^2+7x-8$.
Si on note $x_2$ la seconde racine, on a $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
soit $1x_2=\dfrac{-8}{1}$ soit $x_2=-8$
Signe de $x^2+7x-8$
- Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
- Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $-8$ et interpréter graphiquement le résultat.
Opérations sur les limites
Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
Distinguer les cas $x > -8$ et $x < -8$ et utiliser le signe de $x^2+7x-8$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -8}x-3=-8-3=-11$
Limite en $-8^-$ (cas $x < -8 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -8^-}x^2+7x-8=0^+$ (car $x^2+7x-8>0$ pour $x<-8$)
Limite en $-8^+$ (cas $x >-8 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -8^+}x^2+7x-8=0^-$ (car $x^2+7x-8<0$ pour $-8
La droite d'équation $x=-8$ est asymptote à la courbe représentative de $f$. - Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1$.
Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
Distinguer les cas $x > 1$ et $x < 1$ et utiliser le signe de $x^2+7x-8$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}x-3=1-3=-2$
Limite en $1^-$ (cas $x < 1 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}x^2+7x-8=0^-$ (car $x^2+7x-8<0$ pour $-8 < x < 1$)
Limite en $1^+$ (cas $x >1 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}x^2+7x-8=0^+$ (car $x^2+7x-8>0$ pour $x>1$)
La droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.
Penser à contrôler avec le MENU GRAPH de la calculatrice en saisissant l'expression de $f$ dans Y1 et $y=-3$ dans Y2
Courbe donnée à titre indicatif:
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