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On définit la suite de nombres complexes $(z_n)$ par $z_0=0$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $z_{n+1}=iz_n-4$.
PARTIE A
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=z_n+2+2i$.
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PARTIE A
- Déterminer la forme algébrique de $z_1$, $z_2$ et $z_3$
$z_1=iz_0-4=i\times 0-4=-4$
$z_2=iz_1-4=i\times (-4)-4=-4-4i$
$z_3=iz_2-4=i\times (-4-4i)-4=-4i-4i^2-4=-4i+4-4=-4i$
- On pose $z_n=a_n+ib_n$ où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$ et identifier partie réelle et imaginaire$z_{n+1}=iz_n-4$
On a $z_n=a_n+inb_n$ donc:
$a_{n+1}+ib_{n+1}=i(a_n+ib_n)-4$
$\phantom{a_{n+1}+ib_{n+1}}=ia_n+i^2b_n-4$
$\phantom{a_{n+1}+ib_{n+1}}=ia_n-b_n-4$
$\phantom{a_{n+1}+ib_{n+1}}=-b_n-4+ia_n$
On a donc $a_{n+1}+ib_{n+1}=-b_n-4+ia_n$
- Compléter le programme ci-dessous afin de renvoyer la partie réelle et imaginaire de $z_n$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n=z_n+2+2i$.
- Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $u_{n+1}=iu_n$ et endéduire la nature de la suite $(u_n)$.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$On a $u_{n+1}=z_{n+1}+2+2i$ et $z_{n+1}=iz_n-4$On a $u_{n+1}=z_{n+1}+2+2i$ et $z_{n+1}=iz_n-4$
$u_{n+1}=z_{n+1}+2+2i$
$~~~~~~~=iz_n-4+2+2i$
$~~~~~~~=iz_n-2+2i$
$~~~~~~~=i(z_n-\dfrac{2}{i}+2)$ (On factorise $i$ pour obtenir $iu_n$)
$~~~~~~~=i(z_n-\dfrac{2i}{i^2}+2)$
$~~~~~~~=i(z_n+2i+2)$
$~~~~~~~=i(z_n+2+2i)$
$~~~~~~~=iu_n$
- En déduire l'expression de $z_n$ en fonction de $n$.
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$On a $u_n=u_0q^n$ et $z_n=u_n+4$$$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=i$ et premier terme $u_0=2+2i$
donc $u_n=u_0q^n=(2+2i)\times i^n$
On a $u_n=z_n+2+2i$ donc $z_n=u_n-2-2i=(2+2i)\times i^n-2-2i$
- Calculer $z_{50}$ et $z_{100}$ en utilisant $i^2$
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