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Partie A : étude d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1;+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{ln x}$.
Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.
Partie B : étude d'une suite récurrente
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $ n$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.
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On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1;+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{ln x}$.
Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.
- Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$.
Croissances comparées
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$$\dfrac{x}{ln x}$ est l'inverse de $\dfrac{ln x}{x}$
$ln(1)=0$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0^+$ (limite du cours)
et $\dfrac{x}{ln(x)}$ est l'inverse de $\dfrac{ln(x)}{x}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}x=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}ln(x)=0^+$ car $ln(1)=0$ et $ln(x)>0$ pour $x >0$
- Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1;+ \infty[$.
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $]1;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$.
$u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$.
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1ln(x)-x\times \dfrac{1}{x}}{(ln(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{ln(x)-1}{(ln(x))^2}$
$(ln(x))^2>0$ sur $]1;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du signe de $ln(x)-1$.
$ln(x)-1 >0 \Longleftrightarrow ln(x)>1 \Longleftrightarrow x> e$
donc $f'(x)>0$ sur $]e;+\infty[$ et $f'(x)< 0$ sur $]1;e[$
- En déduire que si $x \geqslant e$ alors $f(x) \geqslant e$.
Partie B : étude d'une suite récurrente
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $ n$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.
- Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0}$, $A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?On a $u_1$ image de $u_0$ par $f$.$u_1$ est l'image de $u_0$ par $f$ et on peut placer $A_1$ sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation $y=x$.
Il semble que la suite soit décroissante et que sa limite soit l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=x$. -
- Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant e$.
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Si $x \geq e$ on a $f(x) \geq e$
Il faut utiliser un raisonnement par récurrence en vérifiant d'abord que la propriété est vraie pour $n=0$.Pour tout entier naturel $n$ on pose la propriété $P_n$: $u_n \geq e$.
Initialisation
$u_0=5$ donc $P_0$ est vraie.
Hérédité
On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que $u_n\geq e$ (propriété $P_n$ vraie).
On a $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_n \geq e$ donc $f(u_n)\geq e$
soit $u_{n+1}\geq e$ et donc $P_{n+1}$ est vraie.
- Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$Pour tout entier naturel $n$ on a:
$u_{n+1}-u_n$
$=f(u_n)-u_n$
$=\dfrac{u_n}{ln(u_n)}-u_n$
$=\dfrac{u_n-u_n\times ln(u_n)}{ln(u_n)}$
$=\dfrac{u_n(1-ln(u_n))}{ln(u_n)}$
Or $u_n \geq e$ donc $ln(u_n)\geq ln(e)$ soit $ln(u_n)\geq 1 >0$
donc $u_{n+1}-u_n$ est du signe de $1-ln(u_n)$
$ln(u_n)\geq 1$ donc $1-ln(u_n)\leq 0$
donc $u_{n+1}-u_n \leq 0$
- En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteLa suite est décroissante et $u_n\geq e$La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $e$ puisque $u_n \geq e$
- Déterminer sa limite $\ell$.
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ alors on a $\ell$ solution de l'équation $f(x)=x$Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ alors on a $\ell$ solution de l'équation $f(x)=x$.
$f(x)=x \Longleftrightarrow \dfrac{x}{ln(x)}=x$
$\phantom{f(x)=x} \Longleftrightarrow x=xln(x)$
$\phantom{f(x)=x} \Longleftrightarrow x-xln(x)=0$
$\phantom{f(x)=x} \Longleftrightarrow x(1-ln(x))=0$
$\phantom{f(x)=x} \Longleftrightarrow x=0$ ou $1-ln(x)=0$
$\phantom{f(x)=x} \Longleftrightarrow x=0$ ou $1=ln(x)$
$\phantom{f(x)=x} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=e$
or $u_n\geq e$ donc $\ell\geq e$
donc $\ell=e$ (la solution $\ell=0$ ne peut pas convenir.)
- Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant e$.
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