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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1;1;3)$, $B(-3;1;1)$ et $C(-1;0;1)$.
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- Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $caractérisation vectorielle d'un plan
Soit $A$ et les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non colinéaires de l'espace, l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$ avec $x$ et $y$ réels est le plan $(ABC)$ avec $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont des vecteurs directeurs du plan $(ABC)$
Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-3-1=-4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-1=0\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-3=-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\\ 0\\ -2 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=-1-1=-2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=0-1=-1\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=1-3=-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ -2 \end{pmatrix} $
$2x_{\overrightarrow{AC}}=2\times (-2)=-4=x_{\overrightarrow{AB}}$
$2y_{\overrightarrow{AC}}=2\times (-1)=-2\neq y_{\overrightarrow{AB}}$
donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $k \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés
- Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
1\\
2\\
-2
\end{pmatrix}
$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Il faut vérifier que le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=1\times (-4)+2\times 0-2\times (-2)=-4+4=0$
$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=1\times (-2)+2\times (-1)-2\times (-2)=-2-2+4=0$
donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
- En déduire une équation cartésienne de $(ABC)$.
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans $ax+by+cz+d=0$ sont donnés par les coordonnées d'un vecteur normal au plan $(ABC)$ et on détermine $d$ en utilisant les coordonnées du point $A$ par exemple$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$
donc une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme $1x+2y-2z+d=0$.
$A\in (ABC) \Longleftrightarrow x_A+2y_A-2z_A+d=0$
$\phantom{A\in (ABC)} \Longleftrightarrow 1+2\times 1-2\times 3+d=0$
$\phantom{A\in (ABC)} \Longleftrightarrow 1+2-6+d=0$
$\phantom{A\in (ABC)} \Longleftrightarrow d=3$
Contrôler le résultat en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de $B$ et $C$ dans l'équation obtenue.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Equation cartésienne d'un plan
- vecteur normal
- déterminer une équation d'un plan
- position relative d'une droite et d'un plan
- intersection de droites et plans
infos: | 15-20mn |
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