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Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$.
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- $e^{3x+1}e^{2-x}=e^2$
Relation fonctionnelle
Pour tous réels $x$ et $y$ on a $exp(x)\times exp(y)=exp(x+y)$.
Avec la notation $e^x$, on a $e^xe^y=e^{x+y}$Égalité et inégalités avec exponentielle
Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
$e^a=e^b\Longleftrightarrow a=b$
$e^a < e^b\Longleftrightarrow a < b$
Écrire le membre de gauche avec une seule exponentielle$e^{3x+1}e^{2-x}=e^2\Longleftrightarrow e^{3x+1+2-x}=e^2$
$\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow e^{2x+3}=e^2$
$\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow 2x+3=2$
$\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow 2x=-1$
$\phantom{e^{3x+1}e^{2-x}=e^2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$
- $\dfrac{e^{3x}}{e^{x-2}}=e^{2x-3}$
Il faut commencer par simplifier le membre de gauche$\dfrac{e^{3x}}{e^{x-2}}=e^{2x-3} \Longleftrightarrow e^{3x-(x-2)}=e^{2x-3}$
$\phantom{\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3}} \Longleftrightarrow e^{2x+2}=e^{2x-3}$
$\phantom{\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3}} \Longleftrightarrow 2x+2=2x-3$
$\phantom{\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3}} \Longleftrightarrow 0x=-5$
donc il n'y a aucune solution ($0x=0\neq -5$)
Une erreur fréquente consiste à écrire:
$\dfrac{e^3x}{e^{x-2}}=e^{2x-3} \Longleftrightarrow \dfrac{3x}{x-2}=2x-3$ - $\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1$
$\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1 \Longleftrightarrow e^{x+3x-1}=e^{2x}$
$\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow e^{4x-1}=e^{2x}$
$\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow 4x-1=2x$
$\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow 2x=1$
$\phantom{\dfrac{e^xe^{3x-1}}{e^{2x}}=1} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
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