Exercice corrigé 1-6-5:

Etude d'un placement à intérêts composés (d'après BAC 2002 Nlle-Calédonie)

Contenu

Recherche de la forme explicite
Recherche d'un seuil et optimisation du placement

Infos sur l'exercice

  •  chap 1: Suites
  • série 6: Suites arithmético-géométriques

  •  niveau:
  • 20-25mn
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Une personne place, le premier janvier 2001, sur un compte rémunéré à intérêts composés au taux annuel de 4 %, une somme de $a$ euros.
De plus, chaque premier janvier des années suivantes, c'est-à-dire au premier janvier 2002, premier janvier 2003, ......, etc, elle place sur ce compte la somme de 1000 euros.
On pose $U_{0} = a$. Plus généralement, pour tout entier naturel $n$, on appelle $U_{n}$ la somme disponible sur le compte, le premier janvier de l'année (2001 + $n$).
  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = 1,04U_{n} + 1000$.
    $U_n$ est le capital disponible le premier janvier de l'année $2001+n$ et $U_{n+1}$ est le capital disponible le premier janvier de l'année suivante
    $U_n$ augmente de 4% et on ajoute 1000 euros de plus ensuite
    $U_n$ est le capital disponible le premier janvier de l'année $2001+n$ et $U_{n+1}$ est le capital disponible le premier janvier de l'année suivante
    Augmenter le capital de 4% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{4}{100}=1,04$.
    $U_n$ augmente de 4% donc on a alors $1,04U_n$ euros auquel on ajoute 1000 euros supplémentaires

    donc $U_{n+1}=1,04U_n+1000$
  2. Montrer que cette suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
    $U_n=1,04U_n+1000$ donc la relation de récurrence n'est ni de la forme $U_{n+1}=U_n+r$ (on multiplie par 1,04), ni de la forme $U_{n+1}=qU_n$ (on ajoute 1000)

    donc la suite $(U_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

    Remarque
    La relation est de la forme $U_{n+1}=aU_n+b$, la suite $(U_n)$ est arithmético-géométrique. Remarque
    La relation est de la forme $U_{n+1}=aU_n+b$, la suite $(U_n)$ est arithmético-géométrique.
    On peut aussi montrer que la suite $(U_n)$ n'est pas arithmétique en montrant que $U_1-U_0\neq U_2-U_1$.
    On peut montrer que $(U_n)$ n'est pas géométrique en montrant que $\dfrac{U_1}{U_0}\neq \dfrac{U_2}{U_1}$.
  3. On pose $V_{n} = U_{n} + 25000$.
    Vérifier que la suite $V_{n}$ est géométrique, de raison 1,04.
    Préciser son premier terme en fonction de $a$.
    Il faut montrer qu'il existe $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1}=qV_n$
    $V_{n+1}=U_{n+1}+25000 =1,04U_n+1000+25000$....
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $V_{n+1}=U_{n+1}+25000$
    $\phantom{V_{n+1}}=1,04U_n+1000+25000$ (on a $U_{n+1}=1,04u_n+1000$)
    $\phantom{V_{n+1}}=1,04U_n+26000 $
    $\phantom{V_{n+1}}=1,04(U_n+25000) $ (on factorise par le coefficient de $u_n$)
    $\phantom{V_{n+1}}=1,04V_n$ (rappel: $V_n=U_n+25000$)
    donc $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,04$
    et de premier terme $V_0=U_0+25000=a+25000$

    $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,04$ et de premier terme $V_0=a+25000$
  4. Exprimer $V_{n}$ en fonction de $a$ et $n$.
    $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,04$ et de premier terme $V_0=a+25000$
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $V_n=V_0q^n=(a+25000) \times 1,04^n$

    $V_n=(a+25000) \times 1,04^n$
  5. En déduire que, pour tout entier $n$ : $U_{n} = 1,04^n \times(a + 25000) - 25000$.
    $V_{n}=U_{n}+25000$ donc $U_n=V_n-25000$
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $V_{n}=U_{n}+25000$ donc $U_n=V_n-25000$

    donc $U_n=(a+25000) \times 1,04^n-25000$
  6. Optimisation du placement sur une durée de quatre ans
    Calculer à 0,01 euro près le placement initial minimal $a$ permettant de disposer sur ce compte, le premier janvier 2005, d'une somme d'au moins 15000 euros.
    $2005=2001+4$ donc faut déterminer $a$ pour que $U_4\geq15000$
    $2005=2001+4$ donc faut déterminer $a$ pour que $U_4\geq15000$.
    $U_4=(a+25000)\times 1,04^4-25000$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} U_4\geq15000$
    $\Longleftrightarrow (a+25000)\times 1,04^4-25000\geq15000$
    $\Longleftrightarrow (a+25000)\times 1,04^4\geq40000$
    $\Longleftrightarrow a+25000 \geq\dfrac{40000}{1,04^4}$
    $\Longleftrightarrow a \geq\dfrac{40000}{1,04^4}-25000$
    $\dfrac{40000}{1,04^4}-25000\approx 9192,17$

    Il faudra donc placer au minimum 9192,17 euros le premier janvier 2001.


    Contrôle du résultat avec la calculatrice
    MENU RECUR puis sélectionner TYPE $a_{n+1}$ et saisir $a_{n+1}=1,04a_n+1000$.
    Penser à ajuster le premier terme dans SET puis $a_0=9192,17$ puis afficher le tableau de valeurs.



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