Exercice corrigé 1-2-4:

Suite bornée-utilisation de la calculatrice (extrait BAC S Liban 2013)

Contenu

- conjecturer le majorant en utilisant la calculatrice
- démontrer qu'une suite est bornée en utilisant le raisonnement par récurrence

Infos sur l'exercice

  •  chap 1: Suites numériques
  • série 2: Raisonnement par récurrence

  •  niveau:
  • 10mn
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On considère la suite numérique $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$
  1. Avec la calculatrice, afficher les termes de la suite $(v_n)$ dont l'indice est compris entre 0 et 50.
    Quels semblent être le minorant et le majorant de cette suite?
    On utilise le MENU RECUR de la calculatrice et la suite est définie par une relation de récurrence donc il faut utiliser le type $a_{n+1}$.
    Ne pas oublier de paramétrer les indices et le premier terme dans SET
    On utilise le MENU RECUR de la calculatrice et la suite est définie par une relation de récurrence donc il faut utiliser le type $a_{n+1}$.
    Dans SET, il faut ensuite paramétrer les indices et le premier terme $a_0$.


    D'après la calculatrice, il semble que $0< v_n < 3$.
  2. Montrer par récurrence la propriété $P_{n}$ : $0 < v_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.
    Il faut vérifier que $P_0$ est vraie.
    Il faut utiliser $0 < v_{n} < 3$ puis encadrer $6-v_n$ puis $\dfrac{9}{6-v_n}$
    -Initialisation
    $v_0=1$ donc $0 < v_0 < 3$ et donc $P_0$ est vraie.
    - On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $0 < v_n < 3$.
    $0 < v_n < 3$ donc $0>-v_n>-3$ (l'inégalité change de sens quand on multiplie les deux membres par $-1$)
    et $6>6-v_n >3$ (on ajoute 6 à chacun des membres de l'inégalité précédente)
    donc $\dfrac{1}{6} < \dfrac{1}{6-v_n}<\dfrac{1}{3}$ (la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc l'inégalité change de sens par passage à l'inverse)
    et $\dfrac{9}{6}< \dfrac{9}{6-v_n}< \dfrac{9}{3}$ (on multiplie chaque membre par 9)
    soit $\dfrac{3}{2} < v_{n+1} < 3$
    donc $0< v_{n+1} < 3$
    et on a alors $P_{n+1}$ vraie.
    On a donc montré par récurrence que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

    donc $(v_n)$ est bornée et $0< v_n <3$



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