Exercice corrigé 1-1-3:

Montrer qu'une suite est géométrique

Contenu

- justifier qu'une suite est géométrique
- utilisation d'un contre exemple en calculant les premiers termes

Infos sur l'exercice

  •  chap 1: Suites numériques
  • série 1: Prérequis (revoir l'essentiel pour bien commencer)

  •  niveau:
  • 5mn

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Dans chaque cas, déterminer si la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ est géométrique et si oui, préciser sa raison.
  1. $u_n=\dfrac{2^n}{5}$
    On peut calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
    Si le quotient de deux termes consécutifs est constant et égal à $q$ alors $(u_n)$ est géométrique de raison $q$
    $u_{n}\neq 0$ pour tout entier naturel $n$ et $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{5}$

    $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}= \dfrac{ \dfrac{2^{n+1}}{5}}{\dfrac{2^n}{5}}$
    $\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=\dfrac{2^{n+1}}{5}\times \dfrac{5}{2^n}$
    $\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}$
    $\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=2^{n+1-n}$ (rappel:$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ avec $a\neq 0$)
    $\phantom{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}=2$
    Le quotient de deux termes consécutifs est constant

    donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 2

    Remarques
    On peut aussi écrire $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+1}}{5}=2\times \dfrac{2^n}{5}=2u_n$
    On peut aussi remarquer que $u_n$ est donné sous la forme $u_n=u_0\times q^n$ avec $u_0=\dfrac{1}{5}$ et $q=2$.
    On a alors $u_n=u_0q^n=\dfrac{1}{5}\times 2^n=\dfrac{2^n}{5}$
  2. $u_{n+1}=2u_n+3$ et $u_0=4$
    On peut remarquer qu'il n'existe pas de réel $q$ tel que $u_{n+1}qu_n$
    Pour montrer que $(u_n)$ n'est pas géométrique, on peut aussi calculer $u_1$ et $u_2$ et vérifier que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant.
    $u_0=4$, $u_1=2u_0+3=2\times 4+3=11$ et $u_2=2u_1+3=2\times 11+3=25$
    $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{11}{4}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{25}{11}$
    donc $\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$
    donc le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant

    donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

    Remarque
    Si $(u_n)$ est géométrique, il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=qu_n$ or ici on a $u_{n+1}=2u_n+3$ (on ajoute 3)
    donc $(u_n)$ n'est pas géométrique.
    Si on a $\dfrac{u_1}{u_0}= \dfrac{u_2}{u_1}$, cela ne signifie pas que la suite est géométrique car il faut avoir $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ constant pour TOUT entier naturel $n$.
  3. $u_n=\dfrac{2^n}{3^{n+1}}$
    On peut calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
    Si le quotient de deux termes consécutifs est constant et égal à $q$ alors $(u_n)$ est géométrique de raison $q$



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