Exercice corrigé 7-2-4:

Forme algébrique d'un quotient

Contenu

- écrire un quotient sans complexe au dénominateur
- utiliser le conjugué d'un complexe
- calculs avec les complexes

Infos sur l'exercice

  •  chap 7: Complexes
  • série 2: Calculs dans C

  •  niveau:
  • 5mn
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Dans chaque cas, écrire le complexe $z$ sous forme algébrique.
  1. $z=\dfrac{1-2i}{3+i}$
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $3+i$
    Si $z=x+iy$ alors $z~~\overline{z}=x^2+y^2$
    $z=\dfrac{1-2i}{3+i}$
    $\phantom{z}=\dfrac{(1-2i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}$
    $\phantom{z}=\dfrac{3-6i-i+2i^2}{3^2+1^2}$
    $\phantom{z}=\dfrac{3-7i-2}{10}$
    $\phantom{z}=\dfrac{1}{10}-i\dfrac{7}{10}$

    $z=\dfrac{1}{10}-i\dfrac{7}{10}$

    penser à contrôler avec la calculatrice (OPTION puis CPLX pour avoir le nombre $i$)
  2. $z=\dfrac{1}{1+i\sqrt{2}}$
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $1+i\sqrt{2}$
    $z=\dfrac{1}{1+i\sqrt{2}}$
    $\phantom{z}=\dfrac{1(1-i\sqrt{2})}{(1+i\sqrt{2})(1-i\sqrt{2})}$
    $\phantom{z}=\dfrac{1-i\sqrt{2}}{1^2+\sqrt{2}^2}$
    $\phantom{z}=\dfrac{1-i\sqrt{2}}{3}$
    $\phantom{z}=\dfrac{1}{3}-i\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

    $z=\dfrac{1}{3}-i\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

    penser à contrôler avec la calculatrice (OPTION puis CPLX pour avoir le nombre $i$)
  3. $z=\dfrac{(2-3i)^2}{1+2i}$
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $1+2i$ et développer $(2-3i)^2$ (on peut utiliser les identités remarquables)
    $z=\dfrac{(2-3i)^2}{1+2i}$
    $\phantom{z}=\dfrac{2^2-2\times 2\times 3i+(3i)^2}{1+2i}$
    $\phantom{z}=\dfrac{4-12i-9}{1+2i}$
    $\phantom{z}=\dfrac{(-5-12i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$
    $\phantom{z}=\dfrac{-5+10i-12i+24i^2}{1^2+2^2}$
    $\phantom{z}=\dfrac{-5-2i-24}{5}$
    $\phantom{z}=\dfrac{-29-2i}{5}$

    $z=\dfrac{-29}{5}-i\dfrac{2}{5}$

    penser à contrôler avec la calculatrice (OPTION puis CPLX pour avoir le nombre $i$)



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