Exercice corrigé 7-2-4:

Produit scalaire dans un parallélogramme

Contenu

Calcul du produit scalaire avec les normes des vecteurs et la mesure de l'angle orienté
Calcul du produit scalaire en utilisant la relation de Chasles sur les vecteurs

Infos sur l'exercice

  •  chap 7: Produit scalaire
  • série 2: Utiliser les différentes expressions

  •  niveau:
  • 10mn
  •       

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
ABCD est un parallélogramme orienté dans le sens direct (voir figure ci-dessous) tel que $AB=4$, $AD=3$ et $\widehat{BAD}=45^0$

  1. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}$
    .
    $\dfrac{\pi}{4}$ radians correspondent à $\dfrac{180}{4}=45$ degrés
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{AD}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =AB\times AD \times cos(\dfrac{\pi}{4})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =4\times 3 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}} =6\sqrt{2}$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}=6\sqrt{2}$
  2. Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}$
    $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$ donc $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC})=0+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    .
    $ABCD $ est un parallélogramme donc $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$
    donc $( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC})=0+k2\pi$ radians avec $k\in \mathbb{Z}$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}=|| \overrightarrow{AB}||\times || \overrightarrow{DC}||\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DC})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}} =AB\times DC \times cos(0)$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}} =4\times 4$ (rappel $cos(0)=1$)
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}} =16$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}=16$
  3. En déduire $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$
    $ \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AC}$
    .
    $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC}$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}.( \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{DC})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}= \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}} =6\sqrt{2}+16$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC} =6\sqrt{2}+16$


 
Haut de page